Question

Determine a área da região delimitada pelos gráficos y = 2 ln x; y = 0 e x = e.

Answer 1

A área que queremos calcular é a área hachurada da figura abaixo.

Para calcular essa área, utilizaremos a integral definida no intervalo de 1 a e.

Sendo assim, temos que:

$A=\int\limits^e_1 {2ln(x)} \, dx$

Como o 2 está multiplicando, então podemos tirá-lo da integral:

$A=2\int\limits^e_1 {ln(x)} \, dx$

A integral de ln(x) é igual a:

∫ln(x) dx = x.ln(x) - x + c.

Sendo assim, temos que:

A = 2(xln(x) - x)

Aplicando os limites de integração:

A = 2(e.ln(e) - e - 1.ln(1) + 1)

Por definição, ln(e) = 1 e ln(1) = 0.

Então,

A = 2(e - e + 1)

A = 2.

Portanto, a área da região delimitada pelas curvas y = 2ln(x), y = 0 e x = e é igual a 2 ua.