Question

Determine a) a soma dos seis primeiros termos da PG (2, –4, 8,. ). B) a soma dos oito primeiros termos da PG (640, 320, 160,. ). C) a soma dos infinitos termos da PG infinita (20, 10, 5,. ). D) a soma dos termos da PG (1, 2,. , 512)

Answer 1

Utilizando as fórmula de progressão geométrica, achamos:

a) S₆ = -42          b) S₈ = 1.275          c) Sₙ = 40          d) S₁₀ = 1.023

Progressão geométrica (PG) e suas fórmulas:

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência ordenada de números, no qual podemos encontrar o próximo número da sequência multiplicando o anterior por uma razão (q).

Assim, podemos encontrar a razão de uma PG dividindo um número pelo antecessor.

As fórmulas são:

• termo geral: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
• Soma de finitos termos: Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1)/(q-1)
• Soma de infinitos termos: Sₙ = a₁ /(1 - q)

Vamos as questões:

a) A razão dessa PG será:

q = -4/2 = 8/-4 = 2

Agora, para somar os 6 primeiros termos, temos que achar o valor do sexto termo, ou seja, o a₆:

a₆ = a₁ · q⁶⁻¹

a₆ = 2 · (-2)⁵

a₆ = 2 · (-2)⁵

a₆ = 2 · (-32)

a₆ = -64

Com isso, podemos fazer a soma dos seis primeiros termos:

S₆ = a₁ · (q⁶ - 1)/(q-1)

S₆ = 2 · ((-2)⁶ - 1)/(-2-1)

S₆ = 2 · (64 - 1) /-3

S₆ = 2 · 63 /-3

S₆ =  126 / -3

S₆ = -42

b) A razão será encontrada fazendo:

q = 320/640 = 160/320 = 1/2

Utilizaremos a fórmula do termo geral para encontrar o oitavo termo:

$a_{8} = a_{1} \times q^{8-1}\\ \\a_{8} = 640\times(1/2)^{7}\\\\a_{8} = 640\times1/128\\\\a_{8} = 640/128\\\\a_{8} = 5$

A soma será:

$S_{n} = \frac{640\times((1/2)^{8}-1)}{1/2-1}\\ \\S_{n} = \frac{640\times((1/256) - 1)}{-1/2} \\\\S_{n} = \frac{640\times(-255/256)}{-1/2} \\\\S_{n} = \frac{-637,5}{-0,5}\\ \\S_{n} = 1.275$

c) A razão é:

q = 5/10 = 10/20 = 1/2

Então, a soma dos infinitos termos será:

$S_{n} = \frac{20}{1-1/2} \\\\S_{n} = 20 / 1/2\\\\S_{n} = 40$

d) Temos que achar qual é a posição desse termo de número 512, então, podemos utilizar a fórmula de termo geral:

$a_{n} = a_{1} \times q^{n-1}\\\\512 = 1\times 2^{n-1}\\\\512 = 2^{n-1}\\\\2^{9} = 2^{n-1}\\\\9 = n-1\\\\n = 9+1 = 10$

Então 512 está na décima posição, com isso, vamos somar esses 10 termos:

$S_{10} = \frac{1\times(2^{10}-1)}{2-1} \\\\S_{10} = \frac{1024-1}{1}\\ \\S_{10} = 1023$

Saiba mais sobre progressão geométrica em: https://brainly.com.br/tarefa/51266539

#SPJ4