Question

Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a v = 6i + 8j

Answer 1

Temos uma única informação, que é o vetor v:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf\vec{v} = 6_i+8 _j \: \bullet$

A questão pede para determinarmos um par de vetores unitários que sejam ortogonais entre si e um destes paralelo ao vetor v.

• Vetor unitário paralelo a v.

Como sabemos, um vetor unitário é aqueles cujo o módulo é 1 e ser paralelo quer dizer ser múltiplo, ou seja, podemos dizer que um vetor "t" qualquer é igual a 3 vezes o vetor v:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \: \: \vec{t} = 3. \vec{v}}$

Substituindo o vetor v na relação acima:

$\sf \vec{t} = 3.( 6_i+8_j) \: \: \to \: \: \vec{t} = 18_i + 24_j$

Agora temos que deixar este vetor na forma unitária, para isso vamos lembrar que um vetor unitário é dado pela divisão do vetor pelo seu módulo, também conhecido com versor.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \vec{t}_{unitario} = \frac{\vec{t}}{ | |\vec{t}| | } }$

Vamos encontrar o módulo do vetor t.

$\sf | |\vec{t}| | = \sqrt{18 {}^{2} + 24 {}^{2} } \: \to \: \: | |\vec{t}| | = 30$

Substituindo na relação do vetor unitário:

$\sf \vec{t}_{unitario} = \frac{18_i + 24_j }{30} \: \to \: \vec{t}_{unitario} = \frac{18_i}{30} + \frac{24_ j }{30} \\ \\ \boxed{ \sf \vec{t}_{unitario} = \frac{3_i}{5} + \frac{4_j}{5} }$

• Vetor unitário perpendicular

Para que dois vetores seja ortogonais, o ângulo entres eles deve ser de 90°, portanto podemos utilizar a relação do ângulo entre dois vetores e a informação de que ele deve ser unitário. A relação do ângulo entre dois vetores é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \cos( \beta ) = \frac{u \: \cdot \: v}{ | |u| | \: \cdot \: | |v| | } }$

Vamos assumir que esse vetor desconhecido seja dado por s = (xi + yj), sabemos que ele deve ser ortogonal a "t" e unitário, portanto:

$\sf \cos(90) = \frac{(18_i + 24_j) \cdot (x_i + y_j )}{1 \: . \: 30} \\ \\ \sf 0 = \frac{(18_ i.x _i + 24 _j.y_j)}{30} \\ \\ \sf 18x. [i \cdot i] + 24y. [j \cdot j] = 0 \\ \\ \sf 18x + 24y = 0$

Outra coisa que podemos extrair é uma relação através de seu módulo:

$\sf \vec{s} = x_i + y_j \: \: \to \: \: | | \vec{s}| | = \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } \\ \\ \sf\sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } = 1$

Montando um sistema com essas equações encontradas podemos encontrar o valor de x e y:

$\begin{cases} \sf18x + 24y = 0 \\ \sf \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } = 1 \end{cases} \: \: \to \: \: \sf x = - \frac{4y}{3} \\ \\ \sf \sqrt{ \left ( - \frac{4y}{3} \right) {}^{2} + y {}^{2} } = 1 \: \to \: \sqrt{\frac{16y {}^{2} }{9} + y {}^{2} } = 1 \\ \\ \sf \sqrt{ \frac{16y {}^{2} + 9y {}^{2} }{9} } = 1 \: \: \to \: \: \left(\sqrt{ \frac{25y {}^{2} }{9} } \right) {}^{2} = ( 1) {}^{2} \\ \\ \sf \frac{25y {}^{2} }{9} = 1 \: \: \to \: \:25y {}^{2} = 9 \: \: \to \: \: y {}^{2} = \frac{9}{25} \\ \\ \sf y = \pm \frac{3}{5}$

O valor de y pode ser tanto positivo ou negativo. Para este exercício vamos adotar apenas o valor positivo e encontrar o valor de x:

$\sf 18x + 24y = 0 \: \: \to \: \: 18x + 24. \frac{3}{5} = 0 \\ \\ \sf 18x + \frac{72}{5} \: \: \to \: \: 18x = - \frac{72}{5} \: \: \to \: \: x = - \frac{72}{90} \\ \\ \sf x = - \frac{4}{5}$

Portanto temos que o vetor unitário "s" é igual a:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \vec{s}_{unitario} = - \frac{4_i}{5} + \frac{3_j}{5} }$

Espero ter ajudado.