Question

Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = sqrt(5). Todas as letras são vetores.

Answer 1

$\vec{z}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$

Fazendo o produto interno de z com u:

$\vec{z}\cdot\vec{u}=0\\\\(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w},~\vec{u})=0$

Usando a linearidade na primeira entrada do produto interno:

$\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}=0\\\\||\vec{u}||^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}=0\\\\2^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}=0\\\\\boxed{\boxed{\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}=-4}}$
____________________

Fazendo o produto interno de z com v:

$(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w},~\vec{v})=0\\\\\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{v}=0\\\\\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{v}=-||\vec{v}||^{2}\\\\\boxed{\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{v}=-9}}$
____________________

Fazendo o produto interno de z com w:

$(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w},~\vec{w})=0\\\\\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{w}=0\\\\\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-||\vec{w}||^{2}\\\\\boxed{\boxed{\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-5}}$
_____________________________________

Temos:

$\begin{cases}\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}=-4\\\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{v}=-9\\\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-5\end{cases}$

Como o produto interno é comutativo:

$\begin{cases}\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=-4\\\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-9\\\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-5\end{cases}$

Somando as três equações:

$\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-4-9-5\\\\2(\vec{u}\cdot\vec{v})+2(\vec{u}\cdot\vec{w})+2(\vec{v}\cdot\vec{w})=-18$

Dividindo todos os membros por 2:

$\boxed{\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=-9}}$

Answer 2

Resposta:

|u| = 2    |v| = 3     |w| = -5

u.v = 6

u.w = -10

v.w = -15

6 - 10 - 15 = -19

Explicação passo-a-passo:

|w| é negativo pois a única forma de u + v + w = 0 é w sendo -5, então e só substituir na equação principal.