Question

determinar se são ortogonais ou não as retas r e s nos seguintes casos:

a) r: x=2 λ. y=1-λ. z=1
s: x= λ. y=1+2λ. z=30+10λ

b) r: x= 2-λ. y=λ. z=1+3λ
s: x= 2λ. y=λ. z=10+λ

Answer 1

Primeiramente, iremos organizar os dados:

a)

r:  X = 2γ
     y = 1-γ
     z = 1

Temos que o vetor diretor de "r" são os coeficientes que multiplicam o parametro "γ"

dr = (2, -1, 0) 

s:  X = γ
      Y = 1+2γ
      Z = 30 +10 γ

Temos novamente que recolher os dados dos coeficiente que multiplica o parametro "γ" que sera o vetor diretor de "s"

ds = (1, 2, 10)

Por definição temos que o produto escalar de dois vetores ortogonais ou perpendicular é zero. Logo teremos:

dr.ds = 0

(2, -1, 0).(1, 2, 10) = 0

2*1 -2*1 +0*10 = 0
2 - 2 + 0 = 0
0 = 0

Realmente, os vetores são ortogonais!

b)

Seguindo os mesmo raciocínios teremos:

r: X = 2-γ
    Y = γ
    Z = 1+3γ

dr = (-1, 1, 3)

s: X = 2γ
     Y = γ
     Z = 10 +γ

ds = (2, 1, 1)

dr.ds = 0

(-1, 1, 3).(2, 1, 1) = 0

-1*2 + 1*1 + 3*1 = 0

-2 + 1 + 3 = 0

-1 + 3 = 0
-2 = 0

-2 ≠ 0

Portanto essa condição não é válida. Apenas a questão a) é ortogonal.