Question

Determinar, se possível a inversa de cada matriz.​

Answer 1

Temos as seguintes matrizes:

$A = \begin{bmatrix}2&1 \\ 1&1\end{bmatrix}, = \begin{bmatrix}2&0 &1 \\1&1&1 \\ 2& 1 & - 1 \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}1&0 &0&3\\1&1&0&3\\ 0& 3 & 1&1 \\ 0&2&2&2 \end{bmatrix}$

Primeiro vamos lembrar que:

• Uma matriz é invertivel ou inversivel se e somente se o determinante da mesma resultar em um número ≠ 0 (diferente de 0), ou seja, para saber se essa matrizes terão inversa ou não, primeiro devemos analisar o determinante da mesma.

Temos que os determinantes das matrizes dadas são iguais a:

$A = \begin{bmatrix}2&1 \\ 1&1\end{bmatrix} \to Det(A) = 1 \\ \\A = \begin{bmatrix}2&0 &1 \\1&1&1 \\ 2& 1 & - 1 \end{bmatrix} \to Det(A) = - 5 \\ \\ A = \begin{bmatrix}1&0 &0&3\\1&1&0&3\\ 0& 3 & 1&1 \\ 0&2&2&2 \end{bmatrix} \to Det(A) = 0$

Com esses determinantes, é possível ver que apenas as duas primeiras matrizes possuem a capacidade de serem inversíveis.

• Primeira Matriz

Para calcular a inversa da primeira matriz, vamos usar a seguinte notação:

$\boxed{A^{-1}.A = I \: \: ou \: \: A.A^{-1} = I}$

Como a matriz inversa (A^(-1)) não é conhecida, podemos atribuir incógnitas para ela, já a matriz identidade (I) é conhecida e depende da ordem de matriz em que está se trabalhando.

$\begin{bmatrix}2&1 \\ 1&1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1\end{bmatrix}$

Fazendo a multiplicação das matrizes:

$\begin{bmatrix}2.a + 1.c&2b + d \\ a + c&b + d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}$

Pela igualdade de matrizes, temos que:

$\begin{cases} 2a + c = 1 \\ 2b + d = 0 \\ a + c = 0 \\ b + d = 1\end{cases}$

Agora é só resolver esse sistema e encontrar os valores das incógnitas:

$\bullet \: a + c = 0 \longrightarrow a = - c \\ 2a + c = 1 \longrightarrow 2.( - c) + c = 1 \\ c = - 1 \\ \\ \bullet \: a + c = 0 \\ a - 1 = 0 \longrightarrow a = 1 \\ \\ \bullet b + d = 1 \to b = 1 - d \\ 2b + d = 0 \longrightarrow 2.(1 - d) + d = 0 \\ d = 2 \\ \\ \bullet \: b + d = 1 \\ b + 2 = 1 \longrightarrow b = - 1$

Substituindo esses dados na matriz inversa:

$A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix} \longrightarrow A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}1& - 1 \\ - 1&2\end{bmatrix}$

• Segunda matriz:

Basta seguir os mesmos passos usados anteriormente, o que muda é a ordem da matriz.

$\begin{bmatrix}2&0 &1 \\1&1&1 \\ 2& 1 & - 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}a&b &c \\d&e&f \\ g& h& i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0 &0 \\0&1&0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

Multiplicando as matrizes:

$\begin{bmatrix}2a + 0.d + 1.g&2b + 0.e + 1.h &2.c + 0.f + 1.i \\1a + 1d + 1g&1b + 1e + 1h&1c + 1f + 1i \\ 2a + d - g& 2b + e - h & 2c + f - i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 0 &0 \\0&1&0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}2a + g&2b + h &2c + i \\a + d + g&b + e + h&c + f + i \\ 2a + d - g& 2b + e - h & 2c + f - i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 0 &0 \\0&1&0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

Fazendo a igualdade matricial:

$\begin{cases} 2a + g = 1 \\ 2b + h = 0 \\ 2c + 1 = 0 \\ \\ a + d + g = 0 \\ b + e + h = 1 \\ c + f + i = 0 \\ \\2a + d - g = 0 \\ 2b + e - h = 0 \\ 2c + f - i = 0 \end{cases}$

Agora é ir a luta e fazer algumas manipulações até encontrar o valor de cada incógnita. (Como isso leva um tempinho, colocarei logo os resultados de cada incógnita).

$\begin{cases}a = \frac{3}{5} \\ b = - \frac{2}{5} \\ c = \frac{1}{5} \\ d = - \frac{2}{5} \\ e = \frac{3}{5} \\ f = \frac{1}{5} \\ g = - \frac{1}{5} \\ h = \frac{4}{5} \\ i = - \frac{2}{5} \end{cases}$

Substituindo todos esses resultados na inversa:

$A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}a&b &c \\d&e&f \\ g& h& i \end{bmatrix} \longrightarrow A = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & - \frac{2}{5} \end{bmatrix}$

Espero ter ajudado