Question

determinar se o vetor (3,4,1) é ou não combinação linear de (1,-2,1) e (-2,-1,1)

Answer 1

Vamos começar supondo que (3,4,1) é combinação linear. Dessa forma:

$(3,4,1)=a(1,-2,1)+b(-2,-1,1)\\\\\\3=a-2b\\4=-2a-b\\1=a+b$

Isolando b da terceira equação na primeira:

$3=a-2(1-a)\\\\3=3a-2\\\\a=\frac{5}{3}$

Resolvendo a terceira equação para b:

$1=\frac{5}{3}+b\\\\b=-\frac{2}{3}$

Encontramos possíveis soluções, porém, se você substituir os valores de 'a' e 'b' na segunda equação, verá que a igualdade não se é satisfeita (e ela deve satisfazer todas as equações do sistema), de tal modo que o sistema não possui solução. Portanto não existem escalares 'a' e 'b' que multipliquem os vetores (1,-2,1) e (-2,-1,1) tal que a soma resulte em (3,4,1)