Question

Determinar os valores de r para que a função f(x) =rx²+ (2r-1)x+(r-2) admita:
a) Duas raízes reais e distintas.
b)Duas raízes reais e iguas.
c) Nenhuma raíz real.

Answer 1

Função quadrática: 

$\large\fbox{ \mathsf{f(x)=ax^2+bx+c} }$


Os coeficiente são a, b, c.

Δ = b² - 4ac


Função quadrática do exercício:


$\large\fbox{ \mathsf{f(x)=rx^2+(2r-1)+(r-2)} }$


Comparando com a função quadrática padrão os coeficientes são:


a = r, b = 2r - 1 e c = r-2

Δ = (2r - 1)² - 4·r·(r-2) 


Antes de mais nada vamos determinar o discriminante Δ


$\mathsf{\Delta=(2r-1)^2-4r(r-2)}\\\\\mathsf{\Delta=4r^2\hspace{-12}\diagup-4r+1-4r^2\hspace{-12}\diagup+8r}\\\\\mathsf{\Delta=4r+1}$


Para que essa função possua duas raízes reais e distintas o discriminante Δ deve ser maior que zero (Δ > 0). 


$\mathsf{4r+1\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{4r\ \textgreater \ -1}\\\\\mathsf{r\ \textgreater \ -\frac{1}{4}}$


Para que a função possua duas raízes reais e iguais o discriminante Δ deve ser igual a zero.


$\mathsf{4r+1=0}\\\\\mathsf{4r=-1}\\\\\mathsf{r= -\frac{1}{4}}$


Para que a função não possua nenhuma raiz real, o discriminante Δ deve ser menor que zero.


$\mathsf{4r+1\ \textless \ 0}\\\\\mathsf{4r\ \textless \ -1}\\\\\mathsf{r\ \textless \ -\frac{1}{4}}$