Matemática, perguntado por fabiolab, 4 meses atrás

Determinar os pontos extremos da função z=x²-12xy+y

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Chegamos a conclusão de que a função possui um ponto sela em $\boxed{P\left(\frac{1}{12},\frac{1}{72}\right)}\\$ , já que $\bf H(x,y) = -144 <0$ .

Explicação

Temos a seguinte função de duas variáveis:

$\: \: \: \: \: f(x,y) = x {}^{2} - 12xy + y$

O objetivo é determinar os extremos da função, isto é, os pontos máximos, mínimos e de sela.

Pontos Críticos:

Assim como nas funções de uma variável, onde buscamos os candidatos a extremos, isto é, os pontos críticos, nas funções de duas variáveis também partimos desta ideia.

Os pontos críticos em duas variáveis são encontrado através da relação $\bf\nabla f(x,y) = (0,0)$ .

Lembrando que o gradiente é um vetor dado pela derivada parcial em relação a ambas as variáveis da função em análise.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \nabla f =\begin{bmatrix} \large\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} \\ \\ \large\frac{\partial f(x,y) }{ \partial y}\end{bmatrix}$

Em relação a nossa função, temos que o gradiente é igual a:

$\nabla f =\begin{bmatrix} \large\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} \\ \\ \large\frac{\partial f(x,y) }{ \partial y}\end{bmatrix} \: \: \to \: \: \nabla f =\begin{bmatrix} \large\frac{ \partial \: (x {}^{2} - 12xy + y) }{ \partial x} \\ \\ \large\frac{\partial \: (x {}^{2} - 12xy + y) }{ \partial y}\end{bmatrix} \\ \\ \nabla f =\begin{bmatrix} 2x - 12y \\ \\ - 12x + 1 \end{bmatrix}$

Agora vamos igualar este resultado ao vetor nulo no R², ou simplesmente uma matriz coluna, sendo ela nula, ou seja, todos os elementos sendo 0.

$\begin{bmatrix} 2x - 12y \\ \\ - 12x + 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 \\ \\ 0\end{bmatrix} \: \to \: \begin{cases} 2x - 12y = 0 \\ - 12x + 1 = 0\end{cases}$

Resolvendo este simples sistema de equações.

$\begin{cases} - 12x + 1 = 0 \: \to \: \: 12x = 1 \: \: \to \: \: \boxed{x = \frac{1}{12}} \\ 2x - 12y = 0 \: \to \: \: \frac{2}{12} - 12y = 0 \: \to \: \boxed{ y = \frac{1}{72} } \end{cases} \\$

Temos então que a função possui um único canditado, sendo ele $\boxed{\bf P\left(\frac{1}{12},\frac{1}{72}\right)}\\$ .

Hessiano:

Sabendo o valor do ponto crítico, agora devemos descobrir se ele é máximo, mínimo ou de sela.

Para esta classificação citada acima, usamos o cálculo do Hessiano:

$H(x,y) = \begin{bmatrix} \large\frac{ \partial f(x,y)}{ \partial x {}^{2} } & \large \frac{ \partial {}^{2} f(x,y)}{ \partial x \partial y } \\ \\ \large \frac{ \partial {}^{2} f(x,y)}{ \partial y \partial x} & \large \frac{ \partial {}^{2} f(x,y)}{ \partial y {}^{2} } \end{bmatrix} \\$

Onde, o resultado do determinante desta matriz, geralmente gera uma expressão onde substituímos o ponto crítico e julgamos o resultado em $\bf H(a,b)>0,\:H(a,b)<0 \:e\:H(a,b) = 0$ , onde cada destes possui um significado.

$\begin{cases} \bullet \: H(a,b) > 0 \to \begin{cases} \frac{ \partial {}^{2} f(a,b)}{ \partial x {}^{2} } > 0 \: (m \acute{i}nimo) \\ \\\frac{ \partial {}^{2} f(a,b)}{ \partial x {}^{2} } < 0 \: (m \acute{a}ximo) \end{cases} \\ \\ \bullet \: H(a,b) < 0 \: \to \: ponto \: sela \\ \\ \bullet \: H(a,b) = 0 \: \to \: N.P.A \end{cases}$

Tendo feito esta breve introdução, vamos agora fazer o cálculo do Hessiano com a função dada.

$H(x,y) = \begin{bmatrix} \large\frac{ \partial (x {}^{2} - 12xy + y) }{ \partial x {}^{2} } & \large \frac{ \partial {}^{2} (x {}^{2} - 12xy + y) }{ \partial x \partial y } \\ \\ \large \frac{ \partial {}^{2} (x {}^{2} - 12xy + y) }{ \partial y \partial x} & \large \frac{ \partial {}^{2} (x {}^{2} - 12xy + y)}{ \partial y {}^{2} } \end{bmatrix} \\ \\ H(x,y) = \begin{bmatrix} 2 & - 12 \\ \\ - 12& -0 \end{bmatrix} \\ \\ \boxed{\det(H(x,y)) = - 144}$

Observe que o determinante do Hessiano, resultou em um valor numérico e não uma expressão, portanto não será necessário substituir o ponto crítico, já que não há variáveis pra substituição, então basta tirarmos a conclusão deste resultado de acordo com o que é mostrado na tabela acima.