Question

Determinar os focos, o comprimento de cada eixo e a excentricidade da elipse de equação 9X² + 16Y²=144​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a=4,~b=3~|~Os~focos~est\~ao~em~(-\sqrt{7},~0)~e~(\sqrt{7},~0)~|~e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx0,66}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

No estudo de cônicas, a elipse é obtida a partir de um corte oblíquo à geratriz do cone. Existem equações para representá-las no plano, tal qual a que usaremos para resolver esta questão.

Temos a seguinte equação $9x^2+16y^2=144$

A intenção é deixá-la na forma reduzida $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

Neste caso, não precisamos completar quadrados, logo

Divida ambos os lados da equação por 144

$\dfrac{9x^2}{144}+\dfrac{16y^2}{144}=\dfrac{144}{144}$

Simplifique as frações

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$

Logo, ao compararmos esta que obtivemos com a equação reduzida de uma elipse, descobrimos que

$a^2=16$ e $b^2=9$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$a=\pm4$ e $b=\pm3$

Aqui, ficamos somente com as soluções positivas

$a=4$ e $b = 3$.

Como $a>b$ e o centro está em $(0,~0)$, o eixo maior está na horizontal, o que significa que a posição dos focos é $(-c,~0)$ e $(c,~0)$

Para calcularmos o valor de $c$ em elipses, utilizamos o Teorema de Pitágoras.

$a^2=b^2+c^2$

Substitua os valores que temos

$16=9+c^2$

Subtraia 9 em ambos os lados da equação

$c^2=7$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$c=\pm\sqrt{7}$

Novamente, ficamos somente com a solução positiva

$c=\sqrt{7}$

Logo, os focos estão nas coordenadas $(-\sqrt{7},~0)$ e $(\sqrt{7},~0)$.

Por fim, a excentricidade da elipse é calculada por meio da fórmula $e=\dfrac{c}{a}$

Substitua os valores que já encontramos

$e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

Com o auxílio de uma calculadora, calcule o valor aproximado da excentricidade que deve ser um número entre 0 e 1.

$e\approx 0,66$

Estas são as respostas para a questão.