Question

Determinar o vetor x tal que x .(1, 4, -3) = -7 e x x (4, -2, 1) = (3, 5, -2).

Answer 1

1º 

Assumindo que "x" valha (a,b,c)
Então; (a,b,c) . (1,4,-3) = -7
Logo = a+4b-3c=-7

2º

Assumindo que "x" valha (a,b,c)
Então,(a,b,c) X (4,-2,1) = (3,5,-2)

i j k
abc
4-21

(b+2c, -a+4c, -2a-4b) = (3,5,-2), 

Logo=

b+2c=3 > B=3-2c
-a+4c=5 > -a=5-4c (x -1) > a=-5+4c

Substituindo "a" e "b" em a+4b-3c=-7

(-5+4c)+4(3-2c)-3c=-7
-5+4c+12-8c-3c=-7
7-7c=-7
-7c=-7-7
-7c=-14
c=-14/-7
c=2

Substituindo "c" nas equações anteriores:

b=3-2.2 > b=-1

a=-5+4.2 > a=3

Logo:

x(a,b,c) > x(3,-1,2)

Answer 2

O vetor x deve ser igual a (3, -1, 2).

Produto vetorial e escalar

A definição do produto vetorial pode ser dada através do determinante da matriz abaixo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right|$

Já a definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

O produto escalar é sempre um número real enquanto o produto vetorial é sempre um vetor.

Do produto escalar, teremos que:

(a, b, c)·(1, 4, -3) = -7

a + 4b - 3c = -7

Do produto vetorial, teremos que:

$\overrightarrow{x} \times (4, -2, 1)=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\a&b&c\\4&-2&1\end{array}\right| = (3, 5, -2)$

3i + 5j - 2k = bi + 4cj - 2ak - 4bk + 2ci - aj

3i + 5j - 2k = (b + 2c)i + (4c - a)j + (-2a - 4b)k

As equações serão:

b + 2c = 3

4c - a = 5

-2a - 4b = -2

Isolando a e b:

a = 4c - 5

b = 3 - 2c

Substituindo no produto escalar:

4c - 5 + 4(3 - 2c) - 3c = -7

4c - 5 + 12 - 8c - 3c = -7

-7c = -14

c = 2

a = 4·2 - 5

a = 3

b = 3 - 2·2

b = -1

O vetor x será então (3, -1, 2).

Leia mais sobre produto vetorial e escalar em:

https://brainly.com.br/tarefa/8133865

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