Question

. Determinar o vetor gradiente das fun¸c˜oes dadas nos pontos indicados:
f(x, y) = x^2y + 3xy + y^2, P(0, 3)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x,y) = x {}^{2}y + 3xy + y {}^{2} , \: P(0,3)$

Para calcular o gradiente da função, devemos lembrar que ele é dado por:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} , \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} \right)$

Portanto vamos iniciar fazendo a derivação parcial da função em relação a cada uma das variáveis, ou seja, x e y:

$\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} = 2xy + 3y \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} = x {}^{2} + 3x + 2y$

Substituindo temos que:

$\nabla f(x,y) = \left(2xy + 3y , x {}^{2} + 3x + 2y \right)$

Agora basta substituir o valor do ponto nesse gradiente:

$\boxed{ \nabla f(0,3) = (3,2)}$

Espero ter ajudado