Question

determinar o valor de m, de modo que o quociente 3+mi/2-i=1+2i seja um numero imaginário puro

Answer 1

Vamos simplificar a equação.

$\frac{3+mi}{2-i}=1+2i$

$3+mi=(1+2i)(2-i)$

$3+mi=2-i+4i-2i^2$

Sabemos que $i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1$. Então:

$3+mi=2-i+4i-(-2(-1))$

$3+mi=2-i+4i+2$

$3+mi=2+2+4i-i$

$3+mi=4+3i$

Para que o número seja imaginário puro a parte real deve ser zero, ficando somente a parte imaginária. Assim:

$a+bi$ (Número complexo, onde a é a parte Real e b a parte imaginária)

Então, para ser um número imaginário puro devemos ter $a=0$ e $b \neq 0$. Vamos isolar a parte imaginária na equação simplificada:

$3+mi=4+3i$

$3-4+mi=3i$

$-1+mi=3i$

Podemos perceber o valor m deve ter um valor que cancele com o $-1$ e gere o $3i$ de forma a manter a igualdade. Logo, m será um número complexo. Assim:

$m=m_R+m_i$

Substituindo m em $-1+mi=3i$. Teremos:

$-1+mi=3i$

$-1+(m_R+m_i)i=3i$

$(-1+m_R)+(m_i)i=0+3i$

Igualando as partes reais e as partes imaginárias teremos:

I) $-1+m_Ri=0$

e 

II) $m_ii=3i$

Vamos resolver I). Assim:

$-1+m_Ri=0$

$m_Ri=1$

$m_R=\frac{1}{i}$

$m_R=\frac{1}{i}.1$

$m_R=\frac{1}{i}.\frac{i}{i}$

$m_R=\frac{i}{i^2}$

Sabemos que $i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1$. Então:

$m_R=\frac{i}{-1}$

$m_R=-i$

Agora vamos resolver II). Assim:

$m_ii=3i$

$m_i=\frac{3i}{i}$

$m_i=\frac{3.1}{1}$

$m_i=3$

Finalmente, vamos montar o $m=m_R+m_i$. Assim:

$m=m_R+m_i$

$m=-i+3$

$m=3-i$

Logo o valor de $m$ será $3-i$. De forma que tenhamos um número imaginário puro.