Question

Determinar o produto vetorial u x v dados os vetores u = 3i e v =3 j

Answer 1

✅ Após ter realizado todos os cálculos, concluímos que o produto vetorial entre os dois vetores dados é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{v} = (0, 0, 9) \end{gathered}$

Sejam os vetores dados:

              $\Large\begin{cases}\vec{u} = 3i\\\vec{v} = 3j \end{cases}$

O produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional sempre resultará em um vetor que é simultaneamente perpendicular aos dois vetores dados.

Para calcularmos algebricamente este vetor devemos utilizar a seguinte fórmula:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\x_{\vec{u}} & y_{\vec{u}} & z_{\vec{u}}\\x_{\vec{v}} & y_{\vec{v}} & z_{\vec{v}}\end{vmatrix} \end{gathered} }$

Como o produto vetorial está definido para espaço tridimensional então podemos reescrever os vetores como:

             $\Large\begin{cases}\vec{u} = (3, 0, 0)\\\vec{v} = (0, 3, 0) \end{cases}$

Calculando o produto vetorial destes dois vetores, temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\3 & 0 & 0\\0 & 3 & 0 \end{vmatrix} \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix}0 & 0\\3 & 0 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}3 & 0\\0 & 0 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}3 & 0\\0 & 3 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 0\vec{i} - 0\vec{j} + 9\vec{k} \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (0, 0, 9) \end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado do produto vetorial é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{v} = (0, 0, 9) \end{gathered}$

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Solução gráfica: