Question

Determinar o ponto P do eixo das abscissas equidistante dos ponto M (-1,2) e N (4,3) . P(2,0) como chegar nele ?

Answer 1

A fórmula da distância é a seguinte:

$\boxed{d = \sqrt{(X_{b}-X_{a})^{2}+(Y_{b}-Y_{a})^{2}}}$

O exercício nos diz que ele deve ser equidistante dos pontos M e N. Equidistante é a mesma distância. Portanto, se o P ter uma distância "x" de M, ele terá que ter distância "x" de N. Para isso, basta igualar as distâncias: de P até M e de P até N.

Antes, o exercício nos dá uma informação importante. Ele diz: "ponto P do eixo das abscissas", ou seja, obrigatoriamente seu y deve valer zero, pois o ponto está exatamente em cima do eixo x (horizontal).

O ponto P será da seguinte forma: P(x;0)

Substituindo:

$\sqrt{(X_{m}-X_{p})^{2}+(Y_{m}-Y_{p})^{2}} = \sqrt{(X_{n}-X_{p})^{2}+(Y_{n}-Y_{p})^{2}} \\\\ \sqrt{(-1-x)^{2}+(2-0)^{2}} = \sqrt{(4-x)^{2}+(3-0)^{2}} \\\\ \sqrt{(-1-x)^{2}+(2)^{2}} = \sqrt{(4-x)^{2}+(3)^{2}} \\\\ \sqrt{(-1-x)^{2}+4} = \sqrt{(4-x)^{2}+9} \\\\ \text{elevamos os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz} \\\\ ( \sqrt{(-1-x)^{2}+4})^{2} = (\sqrt{(4-x)^{2}+9})^{2} \\\\ ( \not{\sqrt{(-1-x)^{2}+4})^{\not{2}} = (\not{\sqrt{(4-x)^{2}+9})^{\not{2}}$


$(-1-x)^{2}+4 = (4-x)^{2}+9 \\\\ 1+2x+x^{2}+4 = 16-8x+x^{2}+9 \\\\ 1+2x+\not{x}^{2}+4 = 16-8x+\not{x}^{2}+9 \\\\ 2x+8x = 16+9-5 \\\\ 10x = 20 \\\\ x = \frac{20}{10} \\\\ \boxed{\boxed{x = 2}}$


Logo, P(2,0).