Question

Determinar o menor numero que dividido por 10 ; 16 e 24 deixa , respectivamente os restos , 5 ; 11 e 19 .

Answer 1

Antes de passarmos ao problema descrito, vamos propor algo diferente. Imagine que queiramos saber o menor número (x) que, ao dividirmos por 10, 16 e 24, obtemos resto 0 nas três situações.

Nessa nova situação, basta acharmos o MMC entre 10, 16 e 24, isto é, calcularemos o menor múltiplo comum aos três números que resulte em uma divisão exata (resto nulo).

$\begin{array}{r r r | l}10&16&24&2\\5&8&12&2\\5&4&6&2\\5&2&3&2\\5&1&3&3\\5&1&1&5\\\cline{4-4}1&1&1&2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot 3\cdot 5~=~240\end{array}$

Com isso em vista, voltemos ao que nos foi enunciado.

Diferente do caso acima, a divisão agora não é exata, este é o fato novo que nos causa estranheza.

Para contornar essa problema surgido, vamos "transformar" essas divisões com restos diferentes de zero em divisões exatas.

Sabemos que a divisão de x por 10 gera um resto de 5 unidades, ou seja, "faltam" 5 unidades (10-5) para que x seja divisível por 10.

A mesma coisa acontecerá nas outras duas divisões, "faltam" 5 unidades (16-11) para que x seja divisível por 16 e também 5 unidades (24-19) para que seja divisível por 24.

Em suma, embora o número "x" não seja divisível por 10, 16 e 24, mostramos que há um numero (x+5) divisível por 10, 16 e 24 simultaneamente, então:

$\sf Resto\left(\dfrac{x+5}{10}\right)~=~\sf Resto\left(\dfrac{x+5}{16}\right)~=~\sf Resto\left(\dfrac{x+5}{24}\right)~=~0$

Esse número, como visto anteriormente, é 240 resultado do MMC entre 10, 16 e 24 e, se (x+5)=240, segue de forma simples que x vale 235.

$\sf x+5~=~240~~\rightarrow~~\boxed{\sf x~=~235}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$