determinar o décimo termo da p.g. (81, 27, 9, ...)
Soluções para a tarefa
Boa noite! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.G. (81, 27, 9, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 81
b)décimo termo (a₁₀): ?
c)número de termos (n): 10 (Justificativa: Embora a PG seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PG infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10º), equivalente ao número de termos.)
(II)Determinação da razão (q) da progressão geométrica:
q = a₂ / a₁ =>
q = 27 / 81 (Simplificação: dividem-se o numerador 27 e o denominador 81 por 27, que é o máximo divisor entre eles.)
q = 27(:27)/81(:27) =>
q = 1/3
(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o décimo termo:
an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₀ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₀ = 81 . (1/3)¹⁰⁻¹ =>
a₁₀ = 81 . (1/3)⁹ (Note que o expoente 9 é aplicado tanto ao numerador 1 quanto ao denominador 3.)
a₁₀ = 81 . (1⁹/3⁹) =>
a₁₀ = 81 . (1.1.1.1.1.1.1.1.1/3.3.3.3.3.3.3.3.3) =>
a₁₀ = 81 . (1/3.3.3.3.3.3.3.3.3.)
-Fatorando 81, tem-se:
81 | 3
27| 3
9| 3
3| 3
1|3.3.3.3 = 3⁴
-Retomando a equação e nela substituindo 81 = 3⁴:
a₁₀ = 81 . (1/3.3.3.3.3.3.3.3.3) (Aplica-se a propriedade da multiplicação de potência de mesma base, que diz que se deve conservar a base e somar os expoentes.)
a₁₀ = 3⁴ . (1 / 3¹⁺¹⁺¹⁺¹⁺¹⁺¹⁺¹⁺¹⁺¹) =>
a₁₀ = 3⁴ . (1 / 3⁹) =>
a₁₀ = 3⁴ / 3⁹) (Aplica-se a propriedade da divisão de potências de mesma base, que diz que se deve conservar a base e subtrair os expoentes.)
a₁₀ = 3⁴⁻⁹ =>
a₁₀ = 3⁻⁵ (Para retirar o sinal de negativo do expoente, basta inverter o numerador e denominador. Aqui, tem-se a fração 3⁻⁵/1, sendo que o 1, por não afetar o resultado, não precisa ser indicado. Ao inverter-se o número, ter-se-á 1/3⁵.)
a₁₀ = 1 / 3⁵
a₁₀ = 1 / 243
Resposta: O décimo termo da PG(81, 27, 9, ...) é 1/243.
DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
-Substituindo a₁₀ = 1/243 na fórmula do termo geral da PG, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:
an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₀ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
1/243 = 81 . (1/3)¹⁰⁻¹ =>
1/243 = 81 . (1/3)⁹ =>
1/243 = 81 . (1/3.3.3.3.3.3.3.3.3) (Note que 81 pode ser simplificado com 3.3.3.3=81.)
1/243 = 81 . (1/81.3.3.3.3.3)
1/243 = 1 / 3.3.3.3.3 =>
1/243 = 1/243
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
Resposta: 1/243
Explicação passo-a-passo:
Fórmula do Termo Geral da PG é an = a₁ . qⁿ⁻¹
an = a₁₀ = décimo termo
Primeiro termo (a₁ = 81)
q = razão = 27/81 (simplificando por 27 fica: 1/3)
Substituindo na fórmula:
a₁₀ = 81 . (1/3) ¹⁰ ⁻ ¹
a₁₀ = 81 . (1/3)⁹
a₁₀ = 81 . 1/19 683 = 81/19 683 (simplificando por 81 fica : 1/243)
a₁₀ = 1/243