Question

Determinar o conjunto verdade:

Answer 1

Determinar o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:

Primeira questão:

$2^{x+1}+2^{x+3}=20\\\\2^{x+1}+2^{x+1}\cdot2^2=20\\\\2^{x+1}+2^{x+1}\cdot 4=20\\\\4\cdot 2^{x+1}+2^{x+1}=20~~~~(\textsf{apenas reorganizei})$

Façamos 2ˣ⁺¹ = y, ou seja, vamos tratar 2ˣ⁺¹ como uma função exponencial, e descobrir x em função da imagem da função, ok?

$4\cdot 2^{x+1}+2^{x+1}=20\\\\4y+y=20\\\\5y=20\\\\y=4$

Como y = 2ˣ⁺¹

$2^{x+1}=4\\\\2^{x+1}=2^2$

Igualdade entre potências de mesma base (propriedade):

$\fbox{ a^b=a^c~\Longleftrightarrow~b=c~~~~(0\ \textless \ a\neq1) }$

$2^{x+1}=2^2~\Longleftrightarrow~x+1=2\\\\x=1$

Conjunto solução (verdade):

S = {x ∈ lR : x = 1}

Lê-se: x pertence aos Reais, tal que x =1.

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De forma análoga resolveremos a próxima questão, ok?

$4^x-9\cdot2^x+8=0\\\\(2^2)^{x}-9\cdot 2^{x}+8=0\\\\(2^x)^2-9\cdot 2^x+8=0$

Façamos 2ˣ = y

$(2^x)^2-9\cdot 2^x+8=0\\\\\underbrace{y^2-9y+8=0}_{\mathsf{equa\c{c}\~ao~quadr\'atica}}$

Resolverei a equação quadrática por completamento de quadrados, mas nada impede resolvê-la de outras formas, você pode resolver da forma que melhor te agradar, ok?

$y^2-9y+8=0\\\\y^2-9y=-8\\\\y^2-9y+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}\\\\(y-\frac{9}{2})^2=\frac{-32}{~~4}+\frac{81}{4}\\\\(y-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}\\\\\sqrt{(y-\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}}\\\\|y-\frac{9}{2}|=\frac{7}{2}~\Longrightarrow~y-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}~~~~\textsf{ou}~~~~y-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$


$\begin{Bmatrix}y-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}~\rightarrow~y=-\frac{7}{2}+\frac{9}{2}~\rightarrow~y=\frac{2}{2}~\rightarrow~y=1\\\\\textsf{ou}\\\\y-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}~\rightarrow~y=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}~\rightarrow~y=\frac{16}{2}~\rightarrow~y=8\hspace{10}\end.$

Como y = 2ˣ 

$\begin{Bmatrix}2^x=1~\rightarrow~x=0\hspace{55}\\\\\hspace{-60}\textsf{ou}\\\\2^x=8~\rightarrow~2^x=2^3~\rightarrow~x=3\end.$

Conjunto solução (verdade):

S = {x ∈ lR : x = 0 ou x = 3} 

Lê-se: x pertence aos Reais, tal que x = 0 ou x = 3.