Question

Determinar o conjunto imagem das seguintes funções quadraticas :
a. y = x² - 2x -3
b. y = -x² + 6x - 9
c. y = x² - 2x - 8
d. y = x² +3x -4
e. y= x² - 4
f. y= -x² -4x -4 
g. y = -x² +8x - 7
h. y= -x² + 36
i. y= x² -9x + 20
j. y= x² -x -2

Answer 1

a) $y=x^2-2x-3$

$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-16}{4}=-4$

$a=1>0$ -> valor mínimo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-4\}$.


b) $y=-x^2+6x-9$

$\Delta=6^2-4\cdot(-1)(-9)=36-36=0$

$y_v=\dfrac{0}{4}=0$

$a=-1<0$ -> Valor máximo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le0\}$.

c) $y=x^2-2x-8$

$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36$

$y_v=\dfrac{-36}{4}=-9$

$a=1>0$ -> Valor mínimo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-9\}$.

d) $y=x^2+3x-4$

$\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25$

$y_v=\dfrac{-25}{4}$

$a=1>0$ -> valor mínimo.


$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-\frac{25}{4}\}$.

e) $y=x^2-4$

$Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-4)=16$

$y_v=\dfrac{-16}{4}=-4$

$a=1>0$ -> Valor mínimo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-4\}$.


f) $y=-x^2-4x-4$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot(-1)(-4)=16-16=0$

$y_v=\dfrac{0}{-4}=0$

$a=-1<0$ -> valor máximo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le0\}$.

g) $y=-x^2+8x-7$

$\Delta=8^2-4\cdot(-1)(-7)=64-28=36$

$y_v=\dfrac{-36}{-4}=9$

$a=-1<0$ -> valor máximo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le9\}$

h) $y=x^2+36$

$\Delta=0^2-4\cdot(-1)\cdot36=144$

$y_v=\dfrac{-144}{4(-1)}=36$

$a=-1<0$ -> Valor máximo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le36\}$

i) $y=x^2-9x+20$

$\Delta=(-9)^2-4\cdot1\cdot20=81-80=1$

$y_v=\dfrac{-1}{4}$

$a=1>0$ -> valor mínimo,


$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-\frac{1}{4}\}$.


j) $y=x^2-x-2$

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9$

$y_v=\dfrac{-9}{4}$

$a=1>0$ -> valor mínimo.

$Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge\frac{-9}{4}\}$.

Answer 2

a) Im = [- 4, +∞[

b) Im = [0, -∞[

c) Im = [- 9, +∞[

d) Im = [- 25/4, +∞[

e) Im = [- 4, +∞[

f) Im = [0, -∞[

g) Im = [9, -∞[

h) Im = [36, -∞[

i) Im = [- 1/4, +∞[

j) Im = [- 9/4, +∞[

Temos que achar a coordenada y do vértice de cada função quadrática.

Yv = - (b² - 4ac)

              4a

a. y = x² - 2x - 3   [a = 1 / b = - 2 / c = - 3]

Yv = - ((-2)² - 4.1.(-3))

                  4.1

Yv = - (4 + 12)

              4

Yv = - 16

           4

Yv = - 4

Im = [- 4, +∞[

b. y = - x² + 6x - 9   [a = - 1 / b = 6 / c = - 9]

Yv = - (6² - 4.(-1).(-9))

                  4.(-1)

Yv = - (36 - 36)

              - 4

Yv =  - 0

         - 4

Yv = 0

Im = [0, -∞[

c. y = x² - 2x - 8   [a = 1 / b = - 2 / c = - 8]

Yv = - ((-2)² - 4.1.(-8))

                  4.1

Yv = - (4 + 32)

              4

Yv = - 36

           4

Yv = - 9

Im = [- 9, +∞[

d. y = x² + 3x - 4   [a = 1 / b = 3 / c = - 4]

Yv = - ((3)² - 4.1.(-4))

                  4.1

Yv = - (9 + 16)

              4

Yv = - 25

           4

Im = [- 25/4, +∞[

e. y = x² - 4   [a = 1 / b = 0 / c = - 4]

Yv = - (0² - 4.1.(-4))

                 4.1

Yv = - (0 + 16)

              4

Yv = - 16

          4

Yv = - 4

Im = [- 4, +∞[

f. y = - x² - 4x - 4  

[a = - 1 / b = - 4 / c = - 4]

Yv = - ((-4)² - 4.(-1).(-4))

                  4.(-1)

Yv = - (16 - 16)

             - 4

Yv = - 0

         - 4

Yv = 0

Im = [0, -∞[

g. y = - x² + 8x - 7   [a = - 1 / b = 8 / c = - 7]

Yv = - ((8)² - 4.(-1).(-7))

                  4.(-1)

Yv = - (64 - 28)

              - 4

Yv = -  36

          - 4

Yv = 9

Im = [9, -∞[

h. y = - x² + 36   [a = - 1 / b = 0 / c = 36]

Yv = - ((0)² - 4.(-1).36)

                  4.(-1)

Yv = - (0 + 144)

             -  4

Yv = - 144

         - 4

Yv = 36

Im = [36, -∞[

i. y = x² - 9x + 20  [a = 1 / b = - 9 / c = 20]

Yv = - ((-9)² - 4.1.20)

                  4.1

Yv = - (81 - 80)

              4

Yv = - 1

          4

Im = [- 1/4, +∞[

j. y = x² - x - 2  [a = 1 / b = - 1 / c = - 2]

Yv = - ((-1)² - 4.1.(-2))

                  4.1

Yv = - (1 + 8)

              4

Yv = - 9

           4

Im = [- 9/4, +∞[

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