Question

Determinar o ângulo B de um triângulo ABC retângulo em A sabendo que se verifica a relação (1/c) + (2/b) = ((√5)/h), onde h é a altura relativa a hipotenusa.

Answer 1

Como a hipotenusa é oposta ao ângulo reto "A", vamos chamá-la de "a". Assim, temos as seguintes relações no triângulo retângulo dado:

senB = b/a ⇒ b = a * senB

cosB = c/a ⇒ c = a * cosB

a * h = b * c
h = b * c / a

Substituindo os valores de "b = a * senB" e "c = a * cosB" na equação obtida acima, temos que:

h = b * c / a
h = (a * senB) * (a * cosB) / a
h = a * senB * cosB

Vamos substituir todas as igualdades obtidas acima na equação dada no enunciado:

(1/c) + (2/b) = ((√5)/h)
(1/(a * cosB)) + (2/(a * senB)) = ((√5)/(a * senB * cosB))

Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação por "a" para eliminar o temos "a" dos denominares:

(1/(a * cosB)) + (2/(a * senB)) = ((√5)/(a * senB * cosB))            (* a)
(a / (a * cos B)) + (2a / (a * senB)) = ((√5 * a) / (a * senB * cos B))
1/cosB + 2/senB = √5 / (senB * cosB)

Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação por "senB" para acharmos uma relação apenas em função da "tgB":

1/cosB + 2/senB = √5 / (senB * cosB)          (* senB)
senB/cosB + 2senB/senB = (√5 * senB) / (senB * cosB)
senB/cosB + 2 = √5/cosB
tgB + 2 = √5 * secB
tgB + 2 = √5 * √(1 + tg²B)

Elevando os dois lados ao quadrado, temos que:

tgB + 2 = √5 * √(1 + tg²B)
(tgB + 2)² = (√5 * √(1 + tg²B))²
tg²B + 4tgB + 4 = 5 * (1 + tg²B)
tg²B + 4tgB + 4 = 5 + 5tg²B
0 = 5tg²B - tg²B - 4tgB + 5 - 4
0 = 4tg²B - 4tgB + 1

Vamos substituir "tgB" por "x".

4tg²B - 4tgB + 1 = 0
4x² - 4x + 1 = 0

a = 4
b = -4
c = 1

Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4 * 4 * 1
Δ = 16 - 16
Δ = 0

x = (-b ⁺₋ √Δ) / 2a
x = (-(-4) ⁺₋ √0) / (2 * 4)
x = (4 ⁺₋ 0) / 8
x = 4 / 8
x = 1/2

Lembrando que "tgB = x", temos que:

tgB = x
tgB = 1/2

B = arctg(1/2)
B ≈ 26,565°

Portanto, o ângulo B vale aproximadamente 26,565°.