Question

Determinar coeficiente, por favor

Answer 1

Temos o seguinte polinômio $\sf p(x) = x^{2} + ax + b$, sabemos que $\sf p(1) = 0\:\: e \:\: p'(1) = 4$, o questionamento que a questão nos faz é descobrir os valores de "a" e "b" que satisfaçam essas condições de "p" citadas acima, para isso devemos fazer substituições.

• Para p(1) = 0:

Essa informação nos diz que quando "x" é igual a "1" o valor da expressão é "0", então vamos substituir o valor de "x" e igualar a expressão a "0":

$\sf p(x) = x {}^{2} + ax + b \: \: \: \: \: \\ \sf p(1) = 1 {}^{2} + a.1 + b \: \: \: \\ \sf p(1) = 1 + a + b \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf sabemos \: que \: p(1) = 0 \\ \sf a + b + 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf a + b = - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Para p'(1) = 4:

Essa informação nos diz que a derivada dessa expressão com o "x" valendo "1" é igual a "4", então vamos derivar essa função e depois substituir o valor de "p", então:

$\sf p(x) = x {}^{2} + ax + b$

Para derivar essa função, devemos lembrar de algumas regrinhas, são elas a derivada de uma multiplicação de uma constante por uma função e regra da potência, sendo a regra da potência dada por: $\sf x^{n} = n.x^{n-1}$ e a derivada da multiplicação de uma constante pela função sendo a multiplicação da constante pela derivada da função $\sf [a.f(x)]' \rightarrow a.[f(x)]'$, vamos tomar "b" como uma constante, então:

$\sf p'(x) = 2x {}^{2 - 1} + a.1.x {}^{1 - 1} + 0 \\ \sf p'(x) = 2x + a \\ \sf p'(1) = 2.1 + a \\ \sf p'(1) = 2 + a \\ \sf sabemos \: que \: p'(1) = 4 \\ \sf 2 + a = 4 \\ \sf a = 4 - 2 \\ \boxed{ \sf a = 2}$

• Lembre-se que a derivada de uma constante é igual a "0", $\sf f'(x) =0, sendo\: x \: uma \: constante.$

Sabemos o valor de "a", então vamos substituir esse valor na primeira equação.

$\sf \: a + b = - 1 \\ \sf 2 + b = - 1 \\ \sf b = - 1 - 2 \\ \boxed{\sf b = - 3}$

Espero ter ajudado