Question

Determinar as raizes cubicas de z=8

Answer 1

Calcular as raízes cúbicas de  z = 8  é encontrar todos os números complexos que são soluções da equação

     $x^3=8\\\\ x^3-8=0\\\\ x^3-2^3=0$


Fatore o lado esquerdo usando produtos notáveis (diferença entre dolis cubos):

     •  a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)


e a equação fica

     $(x-2)(x^2+2x+2^2)=0\\\\ (x-2)(x^2+2x+4)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x-2=0&\textsf{ ou }&x^2+2x+4=0\\\\ x=2&\textsf{ ou }&x^2+2x+4=0 \end{array}$


Vamos agora resolver a equação quadrática que falta:

     $x^2+2x+4=0$


     Coeficientes:  a = 1;  b = 2;  c = 4.

     $\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 4\\\\ \Delta=4-16\\\\ \Delta=-12\\\\ \Delta=2^2\cdot 3\cdot (-1)$


     $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{3}\,i}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-2\cdot (1\pm \sqrt{3}\,i)}{2}\\\\\\ x=-1\pm\sqrt{3}\,i$


Portanto as raízes cúbicas de  z = 8  são

    $x_1=2\\\\ x_2=-1-\sqrt{3}\,i\\\\ x_3=-1+\sqrt{3}\,i$


Bons estudos! :-)