Question

Determinar a inversa da seguinte função e o respectivo contradomínio. Y= x/√x²-1

Answer 1

A função inversa da função é

$y=\dfrac{x}{x-1}$

temos a seguinte função

$\boxed{Y=\dfrac{x}{\sqrt{x} ^2-1}}$

Temos que achar sua inversa, para isso o primeiro passo é transformar todos os X da função em Y, e todos os Y em X

$Y=\dfrac{x}{\sqrt{x} ^2-1}\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{y}{\sqrt{y} ^2-1}}$

agora precisamos isolar o Y

é assim teremos nossa inversa

vamos lá

$x=\dfrac{y}{\sqrt{y} ^2-1}$

Podemos começar simplificando a raiz quadrada elevada 2

$x=\dfrac{y}{\sqrt{y} ^2-1}\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{y}{y -1}}$

depois podemos aplicar a propriedade da fração $\boxed{\dfrac{A}{B}= \dfrac{C}{D} \Rightarrow A\cdot D= B\cdot C }$

$x=\dfrac{y}{y -1}\\ \\ \\ \\ \dfrac{x}{1} =\dfrac{y}{y -1}\\ \\ \\ \\ x\cdot (y-1)=1\cdot y\\ \\ \\ xy-x=y\\ \\\\ \boxed{xy-y=x}$

agora basta fazermos algumas manipulações é assim conseguiremos isolar Y na equação

vamos colocar o Y em evidencia

$xy-y=x\\ \\ y\cdot(x-1)=x\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{x}{x-1} }$

achamos a inversa da função

$y=\dfrac{x}{x-1}$

Concidentemente a função inversa é a mesma da função original mas nem sempre isso ocorrerá