Question

Determinar a forma trigonométrica do número complexo que se segue e represente z, o argumento de z e |z| no plano de Argand Gauss: Z=4-4i

Answer 1

Dedução da Fórmula :

$z=a+bi\\\\sen\delta=\frac{b}{|z|}\\\\b=sen\delta.|z|\\\\cos\delta=\frac{a}{|z|}\\\\a=cos\delta.|z|\\z=cos\delta|z|+sen\delta|z|.i\\\\z=|z|(cos\delta+sen\delta.i)$

Resolução do Enunciado :

$z=4-4i\\\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\|z|=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{4.8}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\\sen\delta=\frac{-4}{4\sqrt{2}}=\frac{-4}{4\sqrt{2}}.\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\\\\cos\delta=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\delta=\frac{7 \pi }{4}\\\\z=|z|(cos\delta+sen\delta.i)\\\\\boxed{z=4\sqrt{2}(cos\frac{7 \pi }{4}+sen\frac{7 \pi }{4}i)}$

Obs: -O ângulo onde sen <0 e cos >0 é 0 3°quadrante . Então partindo do ângulo $\frac{ \pi }{4}$ , convertemos para o 3 quadrante subtraindo este ângulo por 2$\pi$