Question

determinar a equação simétrica,paramétrica e vetorial da reta 

posui um ponto m(1,5,-2) e é paralela a reta determinada pelos pontos a(5,-2,3) e b(-1,-4,3)

Answer 1

Equação vetorial da reta
$\boxed{\boxed{(x,y,z)= (A_x,A_y,A_z) + t(V_x,V_y,V_z)}}$

(x,y,z) = ponto pertencente a reta
(ax,ay,z) = ponto pertencente a reta
(vx,vy,vz) = vetor diretor da reta

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reta (R) que passa por pelos pontos  A(5,-2,3) e B(-1,-4,3) 
tem vetor diretor
U=AB = B-A

$U=(-1,-4,3) -(5,-2,3)\\\\ \boxed{U = (-6,-2,0)}$
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a reta (S) que procuramos passa pelo ponto m(1,5,-2) e como ela tem que ser paralela a outra reta o vetor diretor dela pode ser igual o da reta (R) ou vc multiplica o vetor diretor da reta (R) por um valor que queira ...vou dividir ele por (-2) pra ficar sem os sinais negativos

o vetor diretor sera V=(3,1,0) ...(que é o vetor U multiplicado por (-1/2) )

logo a equação dessa reta fica
$S:\boxed{\boxed{(x,y,z)=(1,5,-2)+t(3,1,0)}}\to\text{equacao vetorial}$

a equação paramétrica é 
$\bmatrix{x=1+3t\\y=5+1t\\z=-2\end$

a equação simétrica é só isolar o t
$\bmatrix{ \frac{x-1}{(3)}= \frac{x-1}{3}=t\\\\ y-5=t\\\\ z=-2\end$

ficando a 
$\frac{x-1}{3}=y-5 ;\;\ z=-2$