Question

Determinar a equação reduzida da mediatriz r do segmento AB, de extremidades A(1, 3) e B(-5, -1).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento e que passsa pelo ponto médio desse segmento

=> Ponto médio

As coordenadas do ponto médio são dadas por:

$\sf x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$

Assim:

• $\sf x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{1-5}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{-4}{2}$

$\sf x_M=-2$

• $\sf y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{3-1}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{2}{2}$

$\sf y_M=1$

Logo, $\sf M(-2,1)$

=> Coeficiente angular

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é:

$\sf m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$\sf m=\dfrac{-1-3}{-5-1}$

$\sf m=\dfrac{-4}{-6}$

$\sf m=\dfrac{2}{3}$

Se duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é $\sf -1$

Seja $\sf m_M$ o coeficiente angular da mediatriz do segmento AB

$\sf m_M\cdot\dfrac{2}{3}=-1$

$\sf m_M\cdot2=3\cdot(-1)$

$\sf m_M\cdot2=-3$

$\sf m_M=\dfrac{-3}{2}$

=> Equação da mediatriz

$\sf y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$\sf y-y_M=m_M\cdot(x-x_M)$

$\sf y-1=\dfrac{-3}{2}\cdot(x+2)$

$\sf 2\cdot(y-1)=-3x-6$

$\sf 2y-2=-3x-6$

$\sf 2y=-3x-6+2$

$\sf 2y=-3x-4$

$\sf y=\dfrac{-3x}{2}-\dfrac{4}{2}$

$\sf \red{y=\dfrac{-3x}{2}-2}$