Question

Determinar a equação normal do plano que passa pelo ponto A=(6,0,2) e que é paralelo aos vetores i e -2j+k

Answer 1

Resposta:

i e -2j+k  ou  (1,0,0)  e (0,-2 ,1)

produto vetorial

x      y      z       x      y

1      0      0      1      0

0    -2      1       0     -2

det = 0 +0 -2z -y -0 -0 =-2z-y   ==> (0, -1 , -2)  é o vetor normal ao plano

0x -y -2z+D=0

ponto A=(6,0,2)

0*6 -0 -2*2 +D =0 ==>D=4

0x -y -2z+4=0

-y-2z+4=0

y+2z-4=0  é o plano

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: - y - 2z + 4 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} A = (6, 0, 2)\\\vec{u} = \vec{i} = (1, 0, 0)\\\vec{v} = -2\vec{j} + \vec{k} = (0, -2, 1)\end{cases}$

Para encontrarmos a equação geral de um plano qualquer devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto pertencente ao plano - que, neste caso, é o ponto "A" - ou seja, devemos ter os seguintes itens:

                 $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{\vec{n}}, Y_{\vec{n}}, Z_{\vec{n}})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

Para montarmos a equação geral do plano "β" a partir do vetor normal e o ponto pertencente ao plano devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$       $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Obter o vetor normal ao plano.

        Para isso devemos calcular o produto vetorial entre os vetores "u" e "v", ou seja:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge\vec{v}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 0 & 0\\0 & -2 & 1\end{vmatrix}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix} 0 & 0\\-2 & 1\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & -2\end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (0 + 0)\vec{i} - (1 - 0)\vec{j} + (-2 - 0)\vec{k}\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (0, -1, -2)\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (0, -1, -2)\end{gathered}$

• Montar a equação geral do plano.

         Para isso, devemos substituir as coordenadas tanto do vetor normal "n" como as coordenadas do ponto "A" na equação "I", ou seja:

        $\large\displaystyle\begin{gathered} 0\cdot x + (-1)\cdot y + (-2)\cdot z = 0\cdot6 + (-1)\cdot0 + (-2)\cdot2\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} - y - 2z = 0 - 0 - 4\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} - y - 2z = -4\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} - y - 2z + 4 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral do plano "π" é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: - y - 2z + 4 = 0\end{gathered}$

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