Question

determinar a equação geral do plano paralelo ao plano 2x-3y-z+5=0 e que contém o ponto a(4 -1 2)

Answer 1

2x-3y-z+5=0 todos os planos paralelos tem o mesmo vetor normal ou múltiplo , neste caso é o vetor (2,-3,-1)

2x-3y-z+D=0  ..para o ponto (4,-1,2)

8+3-2+D=0  ==>D=-9

2x-3y-z-9=0   é a resposta

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano procurada é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \beta: 2x - 3y - z - 9 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

   

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} \pi: 2x - 3y - z + 5 = 0\\A(4, -1, 2)\end{cases}$

Para encontrarmos a equação geral de um plano qualquer devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto pertencente ao plano - que, neste caso, é o ponto "A" - ou seja, devemos ter os seguintes itens:

                 $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{\vec{n}}, Y_{\vec{n}}, Z_{\vec{n}})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

Para montarmos a equação geral do plano "β" a partir do vetor normal e o ponto pertencente ao plano devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$       $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o vetor normal do plano "π":

        Se a equação do plano "π" é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x - 3y - z + 5 = 0\end{gathered}$

        Então, o seu vetor normal é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (2, -3, -1)\end{gathered}$

• Obter o vetor normal do plano "β":

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:\beta\parallel\pi\Longleftrightarrow \vec{n_{\beta}} = \vec{n_{\pi}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\beta}} = (2, -3, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano "β" paralelo ao plano "π":

        Para isso, devemos substituir as coordenadas do vetor normal do plano "β" e as coordenadas do ponto "A" na equação "I". Então, temos:  

         $\large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + (-3)\cdot y + (-1)\cdot z = 2\cdot4 + (-3)\cdot(-1) + (-1)\cdot2\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z = 8 + 3 - 2\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z = 9\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z - 9 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano paralelo procurado é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \beta: 2x - 3y - z - 9 = 0\end{gathered}$

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