Question

Determinar a equação do plano perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto
A (3, 4, -1). Resposta: y=4 preciso da conta

Answer 1

Resposta:

$y=4$

Explicação passo-a-passo:

Sabendo que o eixo y é perpendicular ao plano, então o vetor normal do plano é: $n=(0,1,0)$.

A equação da reta é dada por: $n(x- x_1, y-y_1,z-z_1) = 0$, onde $(x_1, y_1, z_1)$ é um ponto do plano. Portanto:

$(0,1,0)(x-3,y-4,z+1)=0\\y=4$

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano perpendicular ao eixo "y" passando pelo ponto "A" é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: y = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja o ponto:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = (3, 4, -1)\end{gathered}$  

Para encontrarmos a equação geral de um plano qualquer devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto pertencente ao plano - que, neste caso, é o ponto "A" - ou seja, devemos ter os seguintes itens:

               $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{\vec{n}}, Y_{\vec{n}}, Z_{\vec{n}})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

Para montarmos a equação geral do plano "π" a partir do vetor normal e o ponto pertencente ao plano devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$     $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Então, devemos:

• Recuperar o vetor diretor "v" do eixo "y".

        O vetor diretor do eixo "y" é qualquer combinação linear do vetor canônico do espaço vetorial 3D na direção do eixo "y", ou seja:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{v_{y}} = \lambda\vec{j} = \lambda(0, 1, 0),\:\:\:\textrm{com}\:\lambda\in\mathbb{R}\end{gathered} }$

         Desta forma, podemos dizer que o vetor diretor do eixo "y" é:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{v_{y}} = 1\cdot(0, 1, 0) = (0, 1, 0)\end{gathered} }$

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v_{y}} = (0, 1, 0) \end{gathered} }$

• Obter o vetor normal do plano.

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:\pi\perp y \Longleftrightarrow \vec{n_{\pi}} = \vec{v_{y}}\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (0, 1, 0)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano.

        Para isso devemos substituir tanto as coordenadas do vetor normal "n" do plano quanto as coordenadas do ponto "A" na equação "I", ou seja:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0\cdot3 + 1\cdot4 + 0\cdot(-1)\end{gathered}$

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4\end{gathered}$

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Solução gráfica: