Question

Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abcissas e que passa pelos pontos (2,2) e (2√3,0)

Answer 1

Resposta:

$\frac{x^2}{12 } +\frac{y^2}{{6}} =1$

Explicação passo a passo:

Considerando uma elipse com centro na origem e foco no eixo das abscissas (eixo x), sua equação geral é:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$

Agora, para calcular os valores das constantes positivas $a$ e $b$ serão substituídos os pontos $A=(2,2)$ e $B=(2\sqrt{3} ,0)$

Substituindo o ponto $B=(2\sqrt{3} ,0)$ o valor de $a$ é:

$\frac{2\sqrt{3} ^2}{a^2} +\frac{0^2}{b^2} =1\\\\\frac{2\sqrt{3} ^2}{a^2}=1\\\\2\sqrt{3} ^2=a^2\\\\2\sqrt{3} =a$

Substituindo o ponto $A=(2,2)$ e $a=2\sqrt{3x}$ o valor de $b$ é:

$\frac{2 ^2}{2\sqrt{3}^2} +\frac{2^2}{b^2} =1\\\\\frac{4}{4\cdot 3} +\frac{4}{b^2} =1\\\\\frac{1}{3} +\frac{4}{b^2} =1\\\\\frac{4}{b^2} =\frac{2}{3} \\\\\frac{4}{b^2} =1-\frac{1}{3}\\\\2b^2=3\cdot4\\\\b^2=\frac{12}{2} \\\\b=\sqrt{6}$

Substituindo os valores de $a$ e $b$ a equação geral da elipse fica da seguinte forma:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1\\\\\frac{x^2}{2\sqrt{3}^2 } +\frac{y^2}{(\sqrt{6}) ^2} =1\\\\\frac{x^2}{4\cdot3 } +\frac{y^2}{{6}} =1\\\\\frac{x^2}{12 } +\frac{y^2}{{6}} =1$

Concluindo, a equação da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos $A=(2,2)$ e $B=(2\sqrt{3} ,0)$ é:

$\frac{x^2}{12 } +\frac{y^2}{{6}} =1$