Question

Determinar a distância do ponto P(6; 5) à reta que passa pelos pontos A(-3; 1) e B(5; -1).

Answer 1

Questão de distância entre o ponto e a reta.  

Sendo uma reta do tipo :

$a.x +b.y + c = 0$

e um ponto qualquer :

$P(x_{0}, y_{0} )$

Podemos calcular  distância entre o ponto e a reta, através da seguinte relação :

$d =|\frac{a.x_{0} + b.y_{0} + c }{\sqrt{a^2 + b^2 } } |$  

Primeiro, vamos achar a equação da reta.

pontos:  A(-3, 1) e B(5, -1)

Podemos fazer pelo determinante. Faz o determinante e iguala a 0.

Vou usar um macete que é seguinte :

Note que na ultima linha e coluna eu repeti o x, y.

$\left[\begin{array}{ccc}x&y\\x_{a}&y_{a}\\x_{b}&y_{b}\\x&y\end{array}\right]$  

Nossos pontos ;

$x_{a} = -3$ ; $y_{a} = 1$

$x_{b} = 5$ ; $y_{b} = -1$

$\left[\begin{array}{ccc}x&y\\-3&1\\5&-1\\x&y\end{array}\right]$  

Agora faço a diagonal direita menos diagonal esquerda.

Diagonal direita :

$x.1 + (-3).(-1) + 5.y$

Diagonal esquerda :

$x.(-1) + 5.1 + (-3).y$

Agora fazendo diagonal direita menos diagonal esquerda.

x + 3 + 5.y - ( -x + 5 -3y)

x + 3 + 5y + x - 5 + 3y = 0

2.x + 8.y - 2 = 0

Tendo nossa reta, agora vamos voltar lá na equação do ponto e da reta

$d =|\frac{a.x_{0} + b.y_{0} + c }{\sqrt{a^2 + b^2 } } |$  

reta : $2.x + 8.y - 2 = 0$

Pontos : $(6,5)$

a = 2; b = 8; c = -2

$x_{0} = 6$ ; $y_{0} = 5$

Substituindo na equação.

$d =|\frac{2.6 + 8.5 -2 }{\sqrt{2^2 + 8^2 } } | = |\frac{12 + 40 -2 }{\sqrt{4 + 64 } } |$  

Note o valor dará positivo, então posso tirar o módulo.

⇒$\frac{50}{\sqrt{68 } } = \frac{50}{\sqrt{4.17} }$ ⇒

⇒$\frac{50}{2.\sqrt{17} } = \frac{25}{\sqrt{17} }$

$d = \frac{25}{\sqrt{17} }$

Se quiser racionalizar :

$d = \frac{25.\sqrt{17} }{17}$

ou aproximar o valor :

$\sqrt{17}$≅4,12.

$d$ ≅ $\frac{25}{4,12} = 6,06$