Question

Determinar a derivada da função inversa de y = f (x) = x4 + 1

Answer 1

1) calcular função inversa:
Se $f:\,A\mapsto B$ e f é bijetora, então admite uma função inversa ($f^{-1}$) contanto que: $f^{-1}:B\mapsto A$

i) trocar x por y':
$f(x)=y\\ y=x^4+1\\\\ x=y'^4+1$

ii) isolar o y':
$\displaystyle i)~~~x=y'^4+1\\ii)~~x-1=y'^4\\iii)~\sqrt[4]{x-1}=y'$

esse y' é nossa função inversa $f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x-1}$

tal que:
$f(y)=x=f^{-1}(x)$

CALCULAR DERIVADA:
i) calcular a derivada normalmente com a regra da cadeia:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sqrt[4]{x-1}\right)=\frac{d}{du}(\sqrt[4]{u})\cdot\frac{du}{dx}$
onde:
$u=x-1\\\sqrt[4]{u}=u^{\frac{1}{4}}$
então teremos:
$\displaystyle \frac{d}{dx}(f^{-1}(x))=\frac{d}{du}(u^{\frac{1}{4}})\cdot\frac{d}{dx}(x-1)=\frac{1}{4}u^{-\frac{3}{4}}\cdot1=\frac{1}{4\sqrt[4]{u^{3}}}=\boxed{\frac{1}{4\sqrt[4]{(x-1)^3}}}$

Imagem anexada das funções abaixo.