Question

Determinar a área entre as curvas y=x² e y= 8-x²

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{64}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a área entre as curvas $y=x^2$ e $y=8-x^2$, utilizaremos cálculo integral.

Devemos lembrar que para determinar a área entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, devemos encontrar seus pontos de interseção e integrar a diferença entre curva que tem imagem maior e a curva com imagem menor neste intervalo.

Isto é, considerando que $f(x)>g(x)$ em todo o intervalo $[x_1,~x_2]$, integramos

$\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2} f(x)-g(x)\,dx}$.

Vamos para a prática.

Iguale ambas as curvas para encontrarmos seus pontos de intersecção

$x^2=8-x^2$

Some $x^2$ em ambos os lados da equação

$2x^2=8$

Divida ambos os lados da equação por 2

$x^2=4$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$x=\pm\sqrt{4}\\\\\\ x=\pm2$

Analisando o gráfico (vide imagem no final), percebemos que $8-x^2$ tem imagem maior neste intervalo. Logo integraremos da seguinte forma

$\displaystyle{\int_{-2}^2 8-x^2-x^2\,dx}$

Some os termos semelhantes no integrando

$\displaystyle{\int_{-2}^2 8-2x^2\,dx}$

Para resolvermos esta integral, utilizaremos três propriedades:

• A integral de uma soma é dada pela soma das integrais, ou seja, dada uma integral $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\, dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

• A integral de uma constante é calculada com o apoio da segunda propriedade, pois $\displaystyle{\int a\,dx=\int a\cdot x^0\,dx=a\cdot x$

Utilize a primeira propriedade

$\displaystyle{\int_{-2}^2 8\,dx-\int_{-2}^2 2x^2\,dx}$

Na primeira integral, aplique a terceira propriedade. Aplique a segunda propriedade na segunda integral.

$\displaystyle{8x\biggr|_{-2}^2-2\cdot\dfrac{x^3}{3}\biggr|_{-2}^2}$

Aplique os limites de integração, sabendo que $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$

$\displaystyle{8\cdot2-8\cdot(-2)-\left(2\cdot\dfrac{2^3}{3}-2\cdot\dfrac{(-2)^3}{3}\right)}$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{16+16-\dfrac{16}{3}-\dfrac{16}{3}}\\\\\\ \displaystyle{32-\dfrac{32}{3}$

Some as frações

$\dfrac{32\cdot3-32}{3}=\dfrac{64}{3}$

Esta é a área entre as duas curvas.

Answer 2

Resposta:

$\frac{64}{3}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro determine o ponto de interseção entre as curvas:

$x^2 = 8- x^2\\\\x^2+x^2 = 8\\\\2x^2=8\\\\x^2=\frac{8}{2} \\\\x^2=4\\\\x=\pm \sqrt{4} \\\\x= \pm 2$

Para $x = - 2$, temos: $y = (-2)^2 = 4$. Então um dos pontos de encontro entre as curvas é    $(-2, 4)$

Para $x = 2$, temos: $y = 2^2 = 4$. Então o outro ponto de encontro entre as curvas é:  $(2, 4)$

Veja o gráfico das curvas abaixo.

A área é:

$\int\limits^{2}_{-2} {[(8-x^2) - x^2]} \, dx = \int\limits^{2}_{-2} {[8-x^2 - x^2]} \, dx =\int\limits^{2}_{-2} (8 - 2x^2) dx= 8x|^{2}_{-2} - \frac{2x^3}{3} |^{2}_{-2} = (8\cdot 2 - 8\cdot(-2)) -\left(\frac{2\cdot 2^3}{3} -\frac{2\cdot(-2)^3}{3}\right )= (16 + 16 ) - \left(\frac{16}{3} -\frac{-16}{3} \right)= 32 - \left(\frac{16}{3} + \frac{16}{3} \right) = 32 - \frac{32}{3} = \frac{96-32}{3} = \frac{64}{3}$