Determinar a área da figura delimitada pela hipérbole equilátera xy = a^2, o eixo x e as retas verticais x = a e x = 2a.
Cálculo II
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A área da figura delimitada pela hipérbole equilátera xy = a², o eixo x e as retas verticais x = a e x = 2a é a².ln(2).
Primeiramente, vamos determinar os pontos de interseção.
xy = a² e x = a
Se x = a, então:
ay = a²
y = a.
Então, o ponto de interseção é (a,a).
xy = a² = x = 2a
Se x = 2a, então:
2ay = a²
2y = a
y = a/2.
Então, o ponto de interseção é (2a,a/2).
Os pontos de interseção entre x = a, x = 2a e y = 0 são (a,0) e (2a,0).
Logo, a área que devemos calcular é a hachurada abaixo.
Para calculá-la, utilizaremos a integral definida entre os valores a e 2a.
Dito isso, temos que:
A = a².ln(x).
Substituindo os limites de integração:
A = a²(ln(2a) - ln(a))
A = a²(ln(2a/a)
A = a².ln(2).
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