Question

Determinada os valores de x e y de modo que a sequência (x,12,y) seja uma p.a. e que (y,8,4) seja uma p.g?
Mim ajudem por favor

Answer 1

Temos duas sequências:

=> (x, 12, y) que seja uma PA

=> (y, 8, 4) que seja uma PG

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É sabido que a razão de uma PA é um termo subtraído pelo anterior. Em (x, 12, y) temos a1 = x, a2 = 12 e a3 = y. Logo a razão é

$\begin{array}{l}\sf r=a_3-a_2\\\\\sf r=y-12\end{array}$

Por enquanto vamos parar aqui, depois voltaremos nela

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É sabido que a razão de uma PG é um termo dividido pelo anterior. Em (y, 8, 4) temos a1 = y, a2 = 8 e a3 = 4. Logo a razão é

$\begin{array}{l} \sf q=\dfrac{a_3}{a_2}\\\\\sf q=\dfrac{4}{8}\\\\\sf q=\dfrac{1}{2}\end{array}$

Assim, agora com a2/a1 (pois queremos descobrir y: a1 = y)

$\begin{array}{l} \sf q=\dfrac{a_2}{a_1}\\\\\sf \dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{y}\\\\\sf \dfrac{1}{\diagdown\!\!\!\!2}\cdot\diagdown\!\!\!\!2=\dfrac{8}{y}\cdot2\\\\\sf 1=\dfrac{16}{y}\\\\\sf 1\cdot y=\dfrac{16}{\diagdown\!\!\!\!y}\cdot \diagdown\!\!\!\!y \\\\\!\boxed{\boxed{\sf y=16}}\\\\\end{array}$

Descoberto o valor de y, agora falta descobrir o x. Vamos voltar naquela razão da PA e substituir y = 16:

$\begin{array}{l}\sf r=y-12\\\\\sf r=16-12\\\\\sf r=4\end{array}$

Assim, agora com a2 – a1 (pois queremos descobrir x: a1 = x):

$\begin{array}{l}\sf r=a_2-a_1\\\\\sf 4=12-x\\\\\sf 4+x-4=12-x+x-4\\\\\!\boxed{\boxed{\sf x=8}} \\ \\ \end{array}$

Com os valores de x e y descobertos as sequências ficam:

(x, 12, y) <=> (8, 12, 16) => PA

(y, 8, 4) <=> (16, 8, 4) => PG

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RESPOSTA: x = 8 e y = 16

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Att. Nasgovaskov