Question

Desenvolver uma pesquisa referente a Radiciação: Propriedades, Simplificação e Operações.

Answer 1

Radiciação: Propriedades, Simplificação e Operações

Radiciação é a forma de conhecermos a raiz um determinado número. Sendo um tipo de representação de expoentes fracionários.

Para entender radiciação é necessário entender também potenciação, que é ao inverso da radiciação.

Definição

Seja a um número real não negativo e n um número natural, com n ≥ 1, chamamos de raiz enésima de a se, e somente se, o número real x, não negativo, elevado ao expoente n, resulta em a, tal que

${x}^{n} = a$

Representação da radiciação

Para representarmos radicais utilizamos o símbolo √, chamado de radical.

Dessa forma,

$\sqrt[n]{a} = b$

Onde n é o índice da raiz, a é o radicando e b a raiz. Leia-se: raiz enésima de a é igual a b.

Exemplo:

$\sqrt[3]{27} = 3$

(Leia-se: raiz cúbica de 27 é igual a 3)

$\sqrt{16} = 4 \: pois \: {4}^{2} = 16$

(Leia-se: raiz quadrada de 16 é igual a 4), quando não aparece o índice consideramos esse índice igual a 2.

$\sqrt[3]{8} = 2 \: pois \: {2}^{3} = 8$

$\sqrt[4]{81} = 3 \: pois \: {3}^{4} = 81$

(Leia-se: raiz quarta de 81 é igual a 3)

Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número a é b, quando o elevamos b ao expoente 2, encontramos a. Veja o exemplo abaixo.

Exemplo:

$\sqrt{9} = 3$

Leia-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3. Neste caso, a raiz quadrada de 9 é 3, pois quando elevamos 3 ao expoente 2 encontramos o número 9.

Observação: quando não aparece o índice na raiz temos que esse índice é o número 2.

Raiz cúbica

Da mesma forma que a raiz quadrada, a raiz cúbica de um número a é b, quando elevamos b a um expoente 3, temos a. Isso pode ficar mais claro com um exemplo. Veja!

Exemplo:

$\sqrt[3]{27} = 3$

Nesse caso, a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3 elevado ao expoente 3 é o próprio número 27.

Observações

Pela definição ocorre que

$( \sqrt[n]{ {a}^{n} }) = a$

para qualquer a ≥ 0.

Também pela definição é possível observar que:

(imagem)

Propriedades da radiciação

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1$

$\sqrt[n]{ {a}^{n} } = a$

Nesse último caso podemos simplificar quando o índice é igual ao expoente, eliminando-o (“cortando”).

Propriedades operatória da radiciação

Seja a e b pertencente ao conjuntos dos números reais positivos, m pertencente ao conjuntos dos números inteiros e n e p pertencente ao conjunto dos naturais maiores que zero, temos as seguintes propriedades:

Radical de um produto

Quando temos no radicando uma multiplicação, podemos separar em radicais diferentes com mesmo índice.

Exemplo:

$\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$

Radical de uma divisão

Quando temos uma divisão no radicando, podemos ter uma divisão de radicais.

Exemplo:

$\sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} }$

com b diferente de zero.

Mudança de índice

Se quisermos mudar o índice de um radical, podemos dividir o índice e o expoente do radicando por um número natural maior que zero.

Exemplo:

$\sqrt[n]{ {a}^{m} } = \sqrt[n \div p]{ {a}^{m \div p} }$

Radical de uma potência

Quando temos uma raiz elevada a um expoente, podemos atribuir esse expoente ao radicando.

Exemplo:

$( \sqrt[n]{a} {)}^{m} = \sqrt[n]{ {a}^{m} }$

Simplificação de radicais

Quando temos uma raiz dentro da outra podemos simplificá-la colocando o radicando em uma só raiz e multiplicando os índices.

Exemplo:

$\sqrt[p]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[n \times p]{a}$

Espero ter ajudado!

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