Question

Desenvolva uma argumentação para provas que a fórmula (~A→B)^( ~BvC) ^~C → A é verdadeira.
Valendo 50 pontos. Me ajudem por favor

Answer 1

$\Large\boxed{\begin{array}{lll}1.&\sim\!A\rightarrow B&\text{(premissa)}\\2.&\sim\!B\vee C&\text{(premissa)}\\3.&\sim\!C&\text{(premissa)}\\4.&\sim\!B&\text{(2,3 silogismo disjuntivo)}\\5.&\sim\!(\sim\!A)&\text{(1,4 modus tollens)}\\6.&A&\text{(5 dupla \rm negac_{\!\!,}\tilde{a}o )}\end{array}}$

Explicação

Deseja-se demonstrar que a seguinte fórmula é verdadeira:

$\Large(\sim\!A\rightarrow B)\wedge(\sim\!B\vee C)\wedge\sim\!C\rightarrow A.$

Para tanto, vamos usar o método de validade mediante regras de inferência.

As regras usadas são apresentadas a seguir:

Silogismo disjuntivo (SD)

Essa regra permite deduzir, da disjunção $p\vee q$ e da negação de uma das proposições simples componentes, a outra proposição. Isto é:

$\Largep\vee q,\,\sim\!p\vdash q$

ou

$\Largep\vee q,\,\sim\!q\vdash p.$

Modus tollens (MT)

A partir das premissas $p\rightarrow q$ e $\sim\!q$ conclui-se $\sim\!p.$ Simbolicamente, temos:

$\Largep\rightarrow q,\,\sim\!q\vdash\,\sim\!p.$

Veja outra representação da regra modus tollens na imagem anexa.

Dupla negação (DN)

A negação da negação de uma proposição $p$ equivale a $p.$ Em símbolos, temos:

$\Large\sim\!(\sim\!p)\iff p.$

Com essas três regras, conseguimos desenvolver a seguinte argumentação para provar a validade da fórmula dada nesta questão:

$\Large\begin{array}{lll}1.&\sim\!A\rightarrow B&\text{(premissa)}\\2.&\sim\!B\vee C&\text{(premissa)}\\3.&\sim\!C&\text{(premissa)}\\4.&\sim\!B&\text{(2,3 SJ)}\\5.&\sim\!(\sim\!A)&\text{(1,4 MT)}\\6.&A&\text{(5 DN)}\end{array}$

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!

Para ler sobre as regras modus ponens e modus tollens, acesse: brainly.com.br/tarefa/12045406