Question

desenvolva ultilizando o binômio de Newton.

a) (x-2)^5​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Formula

$(a+b)^n=C_n,_0.a^n+C_n,_1.a^n^-^1.b+...+C_n,_n_-_1.a.b^n^-^1+C_n,_n .b^n$

onde o combinatório n sobre p

$C_n,_p=\frac{n!}{(n-p)!p!}$

$a=x\\b=-2\\c=5$

$(x-2)^5=\\C_5,_0x^5+C_5,_1.x^4.(-2)+C_5,_2.x^3.(-2)^2+C_5,_3.x^2.(-2)^3+C_5,_4.x.(-2)^4+C_5,_5(-2)^5$

Desenvolvendo os combinatórios

Por definição $0!=1$

$C_5,_0=\frac{5!}{(5-0)!0!}\\C_5,_0=\frac{5!}{5!1}\\C_5,_0=\frac{5!}{5!}\\C_5,_0=1$

$C_5,_1=\frac{5!}{(5-1)!1!}\\C_5,_1=\frac{5!}{4!1}\\C_5,_1=\frac{5.4!}{4!}\\C_5,_1=5$

$C_5,_2=\frac{5!}{(5-2)!2!}\\C_5,_2=\frac{5!}{3!2.1}\\C_5,_2=\frac{5.4.3!}{3!2}\\C_5,_2=\frac{5.4}{2}\\C_5,_2=5.2\\C_5,_2=10$

$C_5,_3=\frac{5!}{(5-3)!3!}\\C_5,_3=\frac{5.4.3!}{2!3!}\\C_5,_3=\frac{5.4}{2}\\C_5,_3=5.2\\C_5,_3=10$

$C_5,_4=\frac{5!}{(5-4)!4!}\\C_5,_4=\frac{5.4!}{1!4!}\\C_5,_4=\frac{5}{1}\\C_5,_4=5$

$C_5,_5=\frac{5!}{(5-5)!5!}\\C_5,_5=\frac{5!}{0!5}\\C_5,_5=\frac{5!}{5!}\\C_5,_5=1$

Ou poderia usar direto o triangulo de pascal, no lugar do combinatório.

$(x-2)^5=1.x^5+5.(-2).x^4+10.4.x^3+10.(-8).x^2+5.16.x-32\\(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32$