Question

Desenvolva e determine a derivada da função que está em anexo:

Answer 1

Propriedades e regras de derivação:

Sendo $u$ e $v$ funções reais, e $c_{1}$ e $c_{2}$ constantes reais, valem as seguintes propriedades:

$\bullet$ Linearidade da derivada:

$\boxed{\left(c_{1}u\pm c_{2}v \right )'=c_{1}u'\pm c_{2}v'}$


$\bullet$ Derivada do produto:

$\boxed{\left(uv \right )'=u'v+uv'}$


$\bullet$ Derivada do quociente ($v \neq 0$):

$\boxed{\left(\dfrac{u}{v} \right )'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}}$


$\bullet$ Regra da Cadeia (ou derivada da função composta)

$\boxed{\left(u \circ v \right )'=\left[\;u\left(v \right )\; \right ]'=u'\left(v \right)\cdot v'}$


Então, aplicando cada uma destas regras à função do enunciado temos

$f\left(x \right )=\mathrm{tg}\left(x^{3}+2 \right )+e^{2x}\cdot \mathrm{\ell n\,}x-7\mathrm{\,sen}\left(5x \right )+\dfrac{2x}{x^{3}}\\ \\ f'\left(x \right )=\left(\mathrm{tg}\left(x^{3}+2 \right )+e^{2x}\cdot \mathrm{\ell n\,}x-7\mathrm{\,sen}\left(5x \right )+\dfrac{2x}{x^{3}} \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=\left[\;\mathrm{tg}\left(x^{3}+2 \right )\; \right ]'+\left(e^{2x}\cdot \mathrm{\ell n\,}x \right )'-7\left[\;\mathrm{\,sen}\left(5x \right )\; \right ]'+\left(\dfrac{2x}{x^{3}} \right )'\\ \\ \\ f'\left(x \right )=\\ \\ \sec^{2}\left(x^{3}+2 \right )\cdot \left(x^{3}+2 \right )'\\ \\+\left[\;\left(e^{2x} \right )'\cdot\mathrm{\ell n\,}x+e^{2x}\cdot \left(\mathrm{\ell n\,}x \right )'\; \right ]\\ \\-7\cos\left(5x \right )\cdot \left(5x \right )'\\ \\+\left(\dfrac{\left(2x \right )'\cdot x^{3}-2x \cdot \left(x^{3} \right )'}{\left(x^{3} \right )^{2}}\right)$


$f'\left(x \right )=\\ \\ \sec^{2}\left(x^{3}+2 \right )\cdot \left(3x^{2}+0 \right )\\ \\+\left[\;e^{2x}\cdot \left(2x \right )'\cdot\mathrm{\ell n\,}x+e^{2x}\cdot \dfrac{1}{x}\; \right ]\\ \\-7\cos\left(5x \right )\cdot 5\\ \\+\left(\dfrac{2x^{3}-2x \cdot 3x^{2}}{x^{6}}\right)\\ \\ \\ f'\left(x \right )=\\ \\ \sec^{2}\left(x^{3}+2 \right )\cdot 3x^{2}\\ \\+\left[\;e^{2x}\cdot 2\cdot\mathrm{\ell n\,}x+\dfrac{e^{2x}}{x}\; \right ]\\ \\-35\cos\left(5x \right )\\ \\+\left(\dfrac{2x^{3}-6x^{3}}{x^{6}}\right)\\ \\ \\ f'\left(x \right )=\\ \\ \sec^{2}\left(x^{3}+2 \right )\cdot 3x^{2}\\ \\+\left[\;2e^{2x}\cdot \mathrm{\ell n\,}x+\dfrac{e^{2x}}{x}\; \right ]\\ \\-35\cos\left(5x \right )\\ \\-\left(\dfrac{4x^{3}}{x^{6}}\right)$


$\boxed{f'\left(x \right )= \sec^{2}\left(x^{3}+2 \right )\cdot 3x^{2}+2e^{2x}\cdot \mathrm{\ell n\,}x+\dfrac{e^{2x}}{x}-35\cos\left(5x \right )-\dfrac{4}{x^{3}}}$