Question

Desenvolva a expressão log (x/y)^2–log (x.y^2)

Answer 1

Vamos utilizar as propriedades de logaritmo.

Pra facilitar, vou deixar numeradas abaixo as propriedades que utilizarei na resolução.

$(1)~~Logaritmo~do~Produto:~~~\log_{_b}(a\cdot c)~=~\log_{_b}a~+~\log_{_b}c\\\\\\(2)~~Logaritmo~do~Quociente:~~~\log_{_b}\left(\dfrac{a}{c}\right)~=~\log_{_b}a~-~\log_{_b}c\\\\\\(3)~~Logaritmo~da~Potencia:~~~\log_{_b}a^c~=~c\cdot \log_{_b}a$

Resolução:

$Aplicando~a~propriedade~(3)\\\\\\=~2\cdot\log\left(\dfrac{x}{y}\right)~-~\log\,(x\cdot y^2)\\\\\\Aplicando~as~propriedades~(1)~e~(2)\\\\\\=~2\cdot \left(\log x~-~\log y\right)~-~\left(\log x~+~\log y^2\right)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~(3)\\\\\\=~2\cdot \left(\log x~-~\log y\right)~-~\left(\log x~+~2\cdot \log y\right)\\\\\\=~2\log x~-~2\cdot \log y~-~\log x~-~2\log y\\\\\\=~\boxed{\log x~-~4\log y}$

Se for de interesse, podemos ainda "compactar" em um único logaritmo, acompanhe:

$Aplicando~a~propriedade~(3)\\\\\\=~\log x~-~\log y^4\\\\\\Aplicando~a~propriedade~(2)\\\\\\=~\boxed{\log\left(\dfrac{x}{y^4}\right)}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$