Question

Deselvolva o Binómio (3y-2x)⁴

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o desencolvimento do binômio é

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (3y -2x)^4 = 81y^{4} - 216 y^3x+ 216y^{2} x^{2} -96yx^{3} + 16x^4 } }$

Dados os números naturais $\boldsymbol{ \textstyle \sf n }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf p }$, com $\boldsymbol{ \textstyle \sf n \geq p }$, o número $\boldsymbol{ \textstyle \sf {n \choose p} }$ número binomial $\boldsymbol{ \textstyle \sf n }$ sobre $\boldsymbol{ \textstyle \sf p}$.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{C_{n,\:p} = \dbinom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} } } }$

Os coeficiente numéricos do triângulo de Pascal.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ l l l l l }\sf 1 & \sf & \sf & \sf & \sf\\\sf 1 & \sf 1 & \sf & \sf & \sf \\\sf 1 & \sf 2 & \sf 1 & \sf & \sf \\\sf 1 & \sf 3& \sf 3& \sf 1& \sf \\\sf 1 & \sf 4 & \sf 6 & \sf 4& \sf1\end{array} } }$

Fórmula do binômio de Newton:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ (x+ a) ^2 = \dbinom{n}{0} x^n \cdot \diagup\!\!\!{a^0}\:^1 +\dbinom{n}{1}x^{n-1} \cdot a^1 + \dbinom{n}{2} x^{n-2} \cdot a^2 + \cdots + \dbinom{n}{n} \diagup\!\!\!{x^0}\:^1 \cdot a } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{(x+a )^n = \sum_{p= 0}^n \dbinom{n}{p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p } }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (3y-2x)^4 }$

Para desenvolver essa potência, vamos considerá-la a forma:

$\Large \displaystyle \mathsf{ [ 3y+ (-2x)]^4 }$

Simplificando, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{4!}{0!(4-0)!} \cdot (3y)^4 \cdot (-2x)^0 = 1 \cdot 81y^4 \cdot 1 = 81y^4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{4!}{1!(4-1)!} \cdot (3y)^3 \cdot (-2x)^1 = 4 \cdot 27y^3 \cdot (-2x) = -216y^3x } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot (3y)^2 \cdot (-2x)^2 = 6 \cdot 9y^2 \cdot4x^{2} = 216y^2 x^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{4!}{3!(4-3)!} \cdot (3y)^1 \cdot (-2x)^3 = 4 \cdot 3y^1 \cdot (-8x^3) = -96yx^3 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{4!}{4!(4-4)!} \cdot (3y)^0 \cdot (-2x)^4 = 1 \cdot 16x^4 = 16x^4 } }$

Logo, binômio (3y-2x)⁴ espandido é:

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf (3y -2x)^4 = 81y^{4} - 216 y^3x+ 216y^{2} x^{2} -96yx^{3} + 16x^4 }$

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