Question

Desejando pagar um empréstimo de R$10000,00 em cinco prestações mensais consecutivas, um cliente de uma instituição financeira tem duas opções distintas. • Opção 1 - Cada prestação é constituída por 20% do valor total do empréstimo acrescido de 5% de juros, calculados sobre o saldo devedor, determinado pela expressão Dn = 2000(6 - n), n = 1, ..., 5. • Opção 2 - Cada prestação é constituída por 50% do saldo devedor — exceto a última, em que o saldo deve ser pago integralmente — acrescido de 5% de juros, calculados Considerando-se que, nos dois casos, o pagamento da primeira parcela deve ser feito um mês após a efetivação do empréstimo e sem atraso nos pagamentos, pode-se afirmar: (01) O valor da segunda prestação, calculado pela Opção 1, corresponde a 24% do valor total do empréstimo. (02) O montante no pagamento das três primeiras prestações, calculadas pela Opção 1, é de R$7300,00. (04) A parcela referente aos juros contidos em cada prestação, calculada pela Opção 2, pode ser obtida através da expressão Jn = 125 (3-n ),n = 1, ..., 5. (08) O valor da menor prestação, considerando-se a Opção 2, é R$656,25. (16) Sendo T1 e T2 os valores totais dos juros calculados pela Opção 1 e pela Opção 2, respectivamente, a diferença T - T2 é positiva. (32) De acordo com a Opção 1, o valor total a ser pago é equivalente ao valor do empréstimo acrescido de juros simples de 5% ao mês.

Answer 1

Boa tarde,

Vamos verificar cada afirmação:

(01) O valor da segunda prestação, calculado pela Opção 1, corresponde a 24% do valor total do empréstimo.

Segundo a formula apresentada, cada prestação na opção 1 tem a formula:

$P_n=0,2*V_T+ 5\%*[2000*(6-n)]$

Onde "n" é o número da parcela. Aplicando para o segundo mês:

$P_2=0,2*10000+ 5\%*[2000*(6-2)]=2000+5\%*8000$

$P_2=2400$

$\frac{P_2}{V_T} = \frac{2400}{10000}=24\%$

Portanto a afirmação é verdadeira.

(02) O montante no pagamento das três primeiras prestações, calculadas pela Opção 1, é de R$7300,00.

Aplicando a fórmula acima para as três primeiras prestações:

$P_1=0,2*10000+ 5\%*[2000*(6-1)]=2500$

$P_2=0,2*10000+ 5\%*[2000*(6-2)]=2400$

$P_3=0,2*10000+ 5\%*[2000*(6-3)]=2300$

Então P1 + P2 + P3 = 7200

Portanto esta afirmação é falsa.

(04) A parcela referente aos juros contidos em cada prestação, calculada pela Opção 2, pode ser obtida através da expressão Jn = 125 (3-n ),n = 1, ..., 5.

Para a opção 2, o enunciado diz que a formula dos juros é igual a 5% do saldo devedor:

$J_n=5\%*S_n=5\%* \frac{10000}{2^{n-1}}$

Vamos desenvolver essa formula:

$J_n= \frac{500}{2^{n-1}}=500*(2^{1-n})$

Destacando que o termo que eleva 2 teve seu sinal trocado para tirarmos do denominador e colocarmos no numerador.

$J_n=125*4*(2^{1-n})=125*(2^2*2^{1-n})=125*(2^{3-n})$

Portanto a afirmação é verdadeira.

(08) O valor da menor prestação, considerando-se a Opção 2, é R$656,25.

O valor da menor prestação para a opção 2 deve ser a última prestação.

Como a última prestação deve quitar o saldo, esta deve ser constituida de 100% do saldo devedor mais juros de 5% do saldo devedor:

$P_5=100\%*S_n+5\%*S_n=105\%*S_n$

$P_5=105\%* \frac{10000}{2^{5-1}} = \frac{10500}{16}=656,25$

Portanto a afirmação é verdadeira.

(16) Sendo T1 e T2 os valores totais dos juros calculados pela Opção 1 e pela Opção 2, respectivamente, a diferença T - T2 é positiva.

Vamos calcular o total de juros de cada opção:

$T_1=\sum_{n=1}^5 5\%*[2000*(6-n)]$

$T_1=500+400+300+200+100=1500$

$T_2=\sum_{n=1}^55\%* \frac{10000}{2^{n-1}}$

$T_2=500+250+125+62,5+31,25=968,75$

$T_1-T_2=1500-968,75=531,25$

Portanto a afirmação é verdadeira.

(32) De acordo com a Opção 1, o valor total a ser pago é equivalente ao valor do empréstimo acrescido de juros simples de 5% ao mês.

Para que possamos calcular os juros simples da opção 1 basta pegarmos o total de juros pagos nesta opção, dividirmos pelo valor total do empréstimo e depois dividirmos pelo período.

$JS_1= \frac{1500}{10000*5}=3\%$

Portanto a afirmação é falsa.

Espero ter ajudado. Bons estudos!