Question

deseja-se fabricar em recipiente cilíndrico sem tampa com capacidade volumétrica de 1800 cm³. O material destinado á lateral do recipiente custa $11,00 o cm². O material destinado ao fundo do recipiente custa $15,00 o cm². Determine a altura e o raio do recipiente de modo que o custo de fabricação seja minimizado .

Answer 1

Volume do Cilindro 
$\boxed{V=\pi*r^2*h}$

V = volume
r = raio
h = altura
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Cada cm² usado para fazer a lateral custa 11$

a área da lateral do cilindro é um retangulo de base 2πr e altura h

area A = $2\pi*r*h$  

logo o custo da area A será

$\boxed{C_A=11(2\pi*r* h)}$
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cada cm² do material usado para o fundo custa 15$
area do fundo é dada pela area do circulo

area B = $2\pi *r^2$

o custo será
$\boxed{C_b=15(2\pi r^2)}$
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o custo total será o custo A + custo B

$\boxed{C_T=11(2\pi r h)+ 15(2\pi r^2)}$
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o enunciado diz que ele quer que o volume seja  de  1800 cm³

então 
$V=\pi*r^2*h\\\\1800=\pi*r^2*h$

temos duas coias que podem variar para o volume ser 1800 
o raio e a altura altura

isolando a altura vc ira só trabalhar com uma variavel

$1800=\pi*r^2*h\\\\ \boxed{\boxed{\frac{1800}{\pi*r^2}=h }}$

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voltando na função custo...vou substituir h por (1800/πr²)

$C_T=11(2\pi r\frac{1800}{\pi r^2} )+ 15(2\pi r^2)\\\\C_T=11(2\not\pi\not r \frac{1800}{\not\pi r^{\not2}} )+ 15(2\pi r^2)\\\\CT=11( \frac{3600}{r})+30\pi r^2 \\\\CT= \frac{39600}{r} + 30\pi r^2\\\\\\\boxed{CT= 30*( \frac{130}{r}+\pi r^2) }$

essa é a função custo...em função do raio

$\boxed{C(r) =30*( \frac{130}{r}+\pi r^2)}$


.o ponto mínimo ou máximo  será encontrando
na derivada da função..quando ela for = 0
se r> 0 o ponto é minimo
se r<0 o ponto é máximo

derivando a função temos
$C(r) =30*( \frac{130}{r}+\pi r^2)\\\\C(r) =30*( 130 r^{-1}+\pi r^2)\\\\\\\\C'(r)=30*(130-1*r^{(-1-1)}+\pi*2r^{2-1}\\\\C'(r)=30*(-130*r^{-2}+2\pi r)\\\\\\\boxed{C'(r)=30* (\frac{-130}{r^2}+2\pi r) }$

igualando a derivada a 0
$30* (\frac{-130}{r^2}+2\pi r) =0\\\\\(\frac{-130}{r^2}+2\pi r =0*30\\\\ \frac{-130}{r^2}+2\pi r =0\\\\ \frac{-130}{r^2} + \frac{r^2(2\pi r)}{r^2}=0\\\\ \frac{-130+2\pi r^3}{r^2}=0 \\\\\ -130+2\pi r^3=0*r^2\\\\2\pi r^3=130\\\\ r^3 = \frac{130}{2pi} \\\\r^3= \frac{65}{\pi} \\\\ \boxed{r= \sqrt[3]{ \frac{65}}{\pi} }$

r> 0
então esse é o ponto minimo
este é o valor do raio quando o  custo é mínimo

$r\approx 2,745$

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agora que descobrimos o valor do raio vamos descobrir o valor da altura

$\frac{1800}{\pi*r^2}=h \\\\\\ \frac{1800}{\pi*(2,745)^2}=h \\\\\\76.04 \approx h$

para o custo ser mínimo o raio deve ter 2,745 cm
e a altura ser de 76,4 cm