Question

Deseja-se construir um oleoduto para ligar duas cidades, A e B. Sabe-se que há duas possibilidades de trajeto para esse oleoduto: em linha reta ou em arco (formando uma semicircunferencia), conforme a figura a seguir. Sabendo que o trajeto em linha reta tem o custo de 2 700 reais por quilômetro, e o trajeto em arco custa 1 600 reais por quilômetro, qual dos dois trajetos é mais barato?

(Use: raiz de 2= 1,411 e PI=3)

Answer 1

Olá  Amyzzer, neste exercício, vamos explorar um pouco do comprimento de uma circunferência juntamente com Teorema de Pitágoras. Vamos lá!

Resposta:

TRAJETO EM ARCO

Explicação passo-a-passo:

Temos dois trajetos. Vamos calcular o custo total de cada trajeto.

LINHA RETA) Observemos um triângulo retângulo com catetos medindo 60km. Logo, podemos descobrir a hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras:

$AB^2=60^2+60^2 \iff AB^2=2.60^2=2.3600=7200 \iff AB^2=7200=72.100=2^3.3^2.100 \iff AB=\sqrt{2^3.3^2.100}=\sqrt{2^2.2.3^2}.\sqrt{100}=6.\sqrt{2}.10=60.\sqrt{2}$

Usando $\sqrt{2}=1,41$ , vem:

$AB=60.1,41=84,6km$

Como cada quilômetro, em linha reta, se paga 2700 reais. Logo:

$Custo_{AB}=84,6.2700=228420 reais$

ARCO) Observe que, da parte anterior:

$AB=84,6km$ e logo $r=\frac{AB}{2}=\frac{84,6}{2}=42,3 km$

Calculando o comprimento da semicircunferência, vem:

$C_{semi}=\frac{2.\pi.r}{2}=\pi.r$

Usando $\pi=3$, vem:

$C_{semi}=3.42,3km=126,9km$

Como cada quilômetro em arco custa 1600 reais, o custo será:

$Custo_{semi}=126,9.1600=203040 reais$

Como 203040 < 228420, segue que o trajeto mais barato será o de arco.

Espero ter ajudado e esclarecido as suas dúvidas!