Deseja-se construir um galpão retangular no terreno triangular. Veja a figura a seguir.
A- expresse a área do galpão como função de seu lado horizontal. Dica: use semelhança de triângulos.
B- quais devem ser as medidas do galpão para que a área seja a maior possível? Qual a área máxima?
Soluções para a tarefa
A área do galpão como função de seu lado horizontal é S = 30y - 1,5y²; As medidas do galpão serão 10 m e 15 m. A área máxima será 150 m².
a) Observe a figura abaixo.
Vamos considerar que a base do retângulo é y e a altura do mesmo é x.
Como AC = 30, então AD = 30 - x.
Como AB = 20, então BF = 20 - y.
Os triângulos ABC e BEF são semelhantes. Então, é correto dizer que:
30/20 = x/(20 - y)
30(20 - y) = 20x
600 - 30y = 20x
x = 30 - 1,5y.
Portanto, a área do galpão em função do seu lado horizontal é:
S = y(30 - 1,5y)
S = 30y - 1,5y².
b) Queremos que a área seja máxima. Então, vamos calcular as coordenadas do vértice da função do segundo grau S = 30y - 1,5y²:
Coordenada x: -30/2.(-1,5) = 30/3 = 10.
Coordenada y: -(30²)/4.(-1,5) = 900/6 = 150.
A área máxima será 150 m², já as medidas do galpão serão: 10 e 15 m.
