Question

Deseja-se construir um galpão com base retangular de perimetro igual a 100m. Qual é o valor da área máxima possível desse retângulo ?

Answer 1

Chamando um lado do retângulo de x
Neste caso o outro lado será 50-x

A área será calculada por:

$A(x)=x(50-x) \\ \\ A(x)=-x^2+50x$

Derivando a função:

$A'(x)=-2x+50$

Igualando a zero:

-2x+50=0

2x=50

x=25

Logo o retângulo é de medida 25 x 25 (quadrado) e a área máxima é 25 x 25 = 625

Answer 2

Chamemos os lados do retângulo de x e y

O perímetro é igual a soma de todos os lados:
$x + x + y + y = 100$
$2x + 2y = 100$
$2(x + y) = 100$
$(x + y) = 100/2$
$x + y = 50$
$y = 50 - x$

$A = b*h$
$A = x*y$
$A = x*(50 - x)$
$A = 50x - x^{2}$

Sabemos que o valor máximo que uma função pode obter é dado por $- D / 4a$

D = Delta = b² - 4ac

$D = b^{2} - 4*a*c$
$D = 50^{2} - 4*(-1)*0$
$D = 50^{2}$
$D = 2500$

$A(max) = - D / 4a$
$A(max) = - 2500 / [4(-1)]$
$A(max) = -2500/(-4)$
$A(max) = 2500/4$
$A(max) = 625 m^{2}$