Question

descubra qual par (x,y) e soluçao do sistema: 4^x.8^y=1/4 e 9^x.27^2y=3

Answer 1

Por sistemas lineares, temos: 

$\left \{ {{ 4^x8^y=\frac{1}{4} } \atop {9^x27^{2y}=3}} \right.$

Note que:
 
$4 = 2^{2}$, então $4^{x} = 2^{2x}$
$8 = 2^{3}$ , então $8^{y} = 2^{3y}$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ , então $\frac{1}{4}=2^{-2}$

$9=3^{2}$, então $9^{x} = 3^{2x}$
$27 = 3^{3}$ , então $27^{2y} = 3^{3 \cdot 2y} = 3^{6y}$

Organizando o sistema, podemos escrever:
$\left \{ {{ 2^{2}^x2^{3}^y=\frac{1}{4} } \atop {3^{2}^x3^{6y}=3}} \right.$

Da propriedade de potências, sabe-se que quando temos potências de mesma base, podemos conservar a base e somar os expoentes:
$\left \{ { 2^{2x + 3y} = {2}^{-2}} \atop{3^{2x+6y}}=3^1}} \right.$

Como o lado direito da equação possui a mesma base que  o lado esquerdo, podemos compar os expoentes: 

(i)  2x + 3y = -2 (da primeira equação) 
(ii) 2x + 6y = 1 (da segunda equação) 

Fazendo (ii) - (i) obtemos :
2x + 6y - (2x + 3y) = 1 - (-2) 
3y = 3 
y = 1

Mas 2x + 6y = 1 
2x + 6*1 = 1
2x + 6 = 1
2x = 1-6
2x = - 5
x = - 5/2 

Resposta: O par ordenado é (-5/2 , 1)