Question

Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2, que estão na forma escalonada reduzida por linhas.

Answer 1

As duas possiveis formas para uma matriz 2x2 escalonada reduzida serão

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ caso a matriz tenha solução única

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\0&0\end{pmatrix}$ caso a matriz tenha infinitas soluções.

Uma matriz 2x2 terá a forma geral

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ onde a, b, c, d são constantes Ao escalonar uma matriz, aplicamos as operações de gauss e, passo a passo, obteremos:

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\c&d\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}c&dfrac{cb}{a}\\-c&-d\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}c&dfrac{cb}{a}\\0&\dfrac{cb}{a}-d\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\0&\dfrac{cb-da}{a}\end{pmatrix}$

Esta é a aplicação do método de escalonamento.

Observe que se esta matriz representa um  sistema  possível e indeterminado, então teremos que $\dfrac{cb-da}{a}=0==>cb=da$

Isto significa que a primeira linha e a segunda linha são paralelas (ou coincidentes)

Portanto a matriz ficará

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\0&0\end{pmatrix}$

E isto significa que a matriz já se encontra na forma reduzida.

Agora, se $\dfrac{cb-da}{a}\neq0$ teremos que continuar com a aplicação de simplificações para alcançar a forma escalonada reduzida.

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\0*\dfrac{a}{cb-da}&\dfrac{cb-da}{a}*\dfrac{a}{cb-da}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&dfrac{b}{a}\\0&1\end{pmatrix}$

e finalmente chegamos a

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$