Question

(DESAFIO) Prove que a medida da mediana traçada de um vértice em um triângulo qualquer está entre a semidiferença e a semissoma dos dois lados consecutivos a ela.

Answer 1

Comentário inicial: Veja a resolução escrita que foi anexada.

Seja ABC triângulo qualquer, e AM mediana relativa a BC. Prolongando AM até A' tal que AM = MA' teremos que, AM = MA', MB = MC, B^MA = A^MC e 'A^MC = A^MB.

Veja então que tais congruências implicam que ΔAMB ≡ Δ'AMC e ΔAMC ≡ ΔBMA' (pelo caso de congruência LAL)

Daí, a medida dos lados do triângulo ABA' são AB, A'B = AC e 2AM

Agora, pela desigualdade triangular:

AB + BA' > 2AM ⇒ (AB+BA')/2 > AM

Além disso, sabemos também pela desigualdade triangular que 2AM é obrigatoriamente maior que o módulo da diferença de AB por A'B, logo:

2AM > |AB - BA'| ⇒ AM > (|AB-BA'|)/2

Daí, $\frac{AB+BA'}{2} > AM > \frac{|AB-BA'|}{2}$

O que finaliza o processo probatório.

Espero ter ajudado. Dúvidas quanto a resolução? Comente!