Question

[Desafio] Na verdade não é bem um desafio, basta resolver a seguinte operação por meio de dois métodos diferentes. Recomendo usar o método de somatório do binomial de Newton e também a fórmula de Moivre.

$(1+i)^8$



P.S : Responda sem muita simplificação

Answer 1

PRIMEIRO MÉTODO - FÓRMULA DE MOIVRE:

Dado: $z = 1+i$ , pede-se: $z^8$.

Vamos encontrar o módulo deste número complexo, ou seja, o que chamamos de $\rho$.

$Mo\´dulo \to \left\{\begin{array}{ccc}\rho = \sqrt{a^2+b^2}\\\\\rho = \sqrt{1^2+1^2}\\\\\rho =\sqrt{2} \end{array}\right$

Seno e Cosseno desse complexo:

$\left\{\begin{array}{ccc}sen\ \alpha = \frac{b}{\rho} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\\\cos\ \alpha = \frac{a}{\rho} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right$

$\boxed{\boxed{\alpha = 45^o = \frac{\pi}{4}}}$

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}z = \rho*(cos\ \alpha + i*sen\ \alpha)\\\\z =\sqrt{2}*(cos\ \frac{\pi}{4}+i*sen\ \frac{\pi}{4})\\\\z^8 = (\sqrt{2})^8*(cos\ \frac{8*\pi}{4}+i*sen\ \frac{8*\pi}{4})\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 2 \pi+i* sen\ 2\pi)\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 2*180^o+i*sen\ 2*180^o)\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 360^o+i*sen\ 360^o)\\\\z^8 = 2^4*(1+i*0)\\\\z^8 = 2^4*1\\\\\boxed{\boxed{z^8 = 2^4}}\end{array}\right$

SEGUNDO MÉTODO - FATORAÇÃO/SIMPLIFICAÇÃO:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}(1+i)^8 = \\\\ \{(1+i)^2\}^4 = \\\\\{1+2i+i^2\}^4=\\\\\{1+2i-1\}^4=\\\\\{2i\}^4 = \\\\16i^4 = \\\\\boxed{\boxed{16*1 = 16\ ou\ 2^4}}\end{array}\right$

Espero ter ajudado. =^.^=

Answer 2

$z=1+i\\a=1\\b=1$

$\rho=\sqrt{2}$

$\tan(\theta)=\dfrac{b}{a}\\\tan(\theta)=\dfrac{1}{1}=1\\\theta=\dfrac{\pi} {4}$

$z=\sqrt{2}[\cos(\dfrac{\pi}{4}) +i\sin(\dfrac{\pi}{4})]$

Fórmula de Moivre

$\boxed{\boxed{\mathsf{{z}^{n}={\rho}^{n}[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]}}}$

$\mathsf{{z}^{8}={(\sqrt{2})}^{8}[\cos(8.\dfrac{\pi}{4})+i\sin(8.\dfrac{\pi}{4})]}$

$\mathsf{{z}^{8}=16(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{{(1+i) }^{8}=16}}}$